Seja f(x) = -x^3 - cos(x) com zero no intervalo [-1,0]. Utilize o método da posição falsa para encontrar a aproximação da raiz de f, com precisão de 10^(-3).

Passo 1

Então, galera! Temos a função e sabemos que ela tem uma raiz (ou seja, um ponto onde ) no intervalo . Vamos usar o método da posição falsa para encontrar uma aproximação dessa raiz com uma precisão de . Esse método é uma forma de encontrar raízes que combina elementos do método da bisseção e do método de Newton-Raphson, sendo eficiente e simples de aplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da posição falsa. A ideia é usar uma linha secante entre os pontos e onde a função muda de sinal (ou seja, e têm sinais opostos). A interseção dessa linha com o eixo dá uma nova aproximação para a raiz. A fórmula para encontrar a nova aproximação é:

Passo 3

Vamos começar aplicando o método. Primeiro, identificamos nossos pontos iniciais:
Calculamos e :
Como é positivo e é negativo, sabemos que há uma raiz entre e .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :
Vamos calcular :

Passo 5

Como é negativo, substituímos por :
  • Novo
  • Novo
Calculamos e :
Aplicamos novamente a fórmula:
Calculamos :

Passo 6

Como ainda é negativo, substituímos por :
  • Novo
  • Novo
Calculamos e :
Aplicamos a fórmula novamente:
Calculamos :

Passo 7

Mais uma vez, é negativo, então substituímos por :
  • Novo
  • Novo
Calculamos e :
Aplicamos a fórmula mais uma vez:
Calculamos :

Passo 8

Vamos verificar a precisão. A diferença entre os últimos dois é , que é menor que . Portanto, alcançamos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação da raiz de no intervalo com precisão de é .

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