Seja
com zero no intervalo
. Utilize o método da posição falsa para encontrar a aproximação da raiz de
, com precisão de
.
Passo 1
Então, galera! Temos a função
e sabemos que ela tem uma raiz (ou seja, um ponto onde
) no intervalo
. Vamos usar o método da posição falsa para encontrar uma aproximação dessa raiz com uma precisão de
. Esse método é uma forma de encontrar raízes que combina elementos do método da bisseção e do método de Newton-Raphson, sendo eficiente e simples de aplicar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da posição falsa. A ideia é usar uma linha secante entre os pontos
e
onde a função muda de sinal (ou seja,
e
têm sinais opostos). A interseção dessa linha com o eixo
dá uma nova aproximação para a raiz. A fórmula para encontrar a nova aproximação
é:
Passo 3
Vamos começar aplicando o método. Primeiro, identificamos nossos pontos iniciais:
Calculamos
e
:
Como
é positivo e
é negativo, sabemos que há uma raiz entre
e
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar
:
Vamos calcular
:
Passo 5
Como
é negativo, substituímos
por
:
- Novo
- Novo
Calculamos
e
:
Aplicamos novamente a fórmula:
Calculamos
:
Passo 6
Como
ainda é negativo, substituímos
por
:
- Novo
- Novo
Calculamos
e
:
Aplicamos a fórmula novamente:
Calculamos
:
Passo 7
Mais uma vez,
é negativo, então substituímos
por
:
- Novo
- Novo
Calculamos
e
:
Aplicamos a fórmula mais uma vez:
Calculamos
:
Passo 8
Vamos verificar a precisão. A diferença entre os últimos dois
é
, que é menor que
. Portanto, alcançamos a precisão desejada.
Resposta
A aproximação da raiz de
no intervalo
com precisão de
é
.
Exercícios relacionados
No intervalo
, utilizando como critério de parada
, sendo
, encontrar a raiz de:
(preferencialmente através do método da bisseção).
Determinar o polinômio interpolador, pelo método de Lagrange, dos pontos:
|
|
|
---|---|---|
0 | -1 | 6 |
1 | 0 | 1 |
2 | 1 | 0 |
Partindo de
e
, utilizando como critério de parada
, sendo
, encontrar a raiz de:
utilizando o método das Secantes.
Dê pelo menos um exemplo de função
, que tenha ao menos uma raiz e não possa ser determinada pelo método da bisseção.