Determinar um polinômio do terceiro grau que se anula em e que dividido por , e tenha resto 6.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos encontrar um polinômio de terceiro grau, ou seja, da forma , que se anula em (ou seja, ). Além disso, quando dividimos esse polinômio por , e , o resto é 6 em cada divisão, o que significa que , e . Para resolver isso, vamos usar essas condições para encontrar os coeficientes , , e .

Passo 2

Como é um polinômio do terceiro grau, ele tem quatro coeficientes desconhecidos: , , e . Vamos utilizar as quatro condições dadas para montar um sistema de equações e resolver esses coeficientes.

Passo 3

Primeira condição: . Substituindo na expressão do polinômio:
Simplificando:
çã

Passo 4

Segunda condição: . Substituindo :
Simplificando:
çã

Passo 5

Terceira condição: . Substituindo :
Simplificando:
çã

Passo 6

Quarta condição: . Substituindo :
Simplificando:
çã

Passo 7

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 8

Podemos começar subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Dividindo por -2:
çã

Passo 9

Agora, vamos somar as Equações 3 e 4 para eliminar algumas variáveis:
Simplificando:
Dividindo por 2:
çã

Passo 10

Voltando à Equação 1 e usando a Equação A ( ):
Substituindo :
çã

Passo 11

Agora, temos as Equações B ( ) e C ( ). Vamos subtrair a Equação C da Equação B:
Simplificando:

Passo 12

Com , substituímos na Equação C:

Passo 13

Agora, usando a Equação A ( ) e substituindo e nas Equações 3 ou 4. Vamos usar a Equação 3:
Simplificando:
Dividindo por -2:
çã

Passo 14

Agora, temos as Equações A ( ) e D ( ). Subtraindo a Equação A da Equação D:
Simplificando:

Passo 15

Com , substituímos na Equação A:

Resposta

O polinômio procurado é .

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Calcule:
t) ,
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Use o teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientado no sentido anti-horario quando visto de cima. , C é a fronteira da parte do paraboloide no primeiro octante.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
c)