Determinar um polinômio do terceiro grau que se anula em
e que dividido por
,
e
tenha resto 6.
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos encontrar um polinômio de terceiro grau, ou seja, da forma
, que se anula em
(ou seja,
). Além disso, quando dividimos esse polinômio por
,
e
, o resto é 6 em cada divisão, o que significa que
,
e
. Para resolver isso, vamos usar essas condições para encontrar os coeficientes
,
,
e
.
Passo 2
Como é um polinômio do terceiro grau, ele tem quatro coeficientes desconhecidos:
,
,
e
. Vamos utilizar as quatro condições dadas para montar um sistema de equações e resolver esses coeficientes.
Passo 3
Primeira condição:
. Substituindo
na expressão do polinômio:
Simplificando:
Passo 4
Segunda condição:
. Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Terceira condição:
. Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Quarta condição:
. Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 8
Podemos começar subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Dividindo por -2:
Passo 9
Agora, vamos somar as Equações 3 e 4 para eliminar algumas variáveis:
Simplificando:
Dividindo por 2:
Passo 10
Voltando à Equação 1 e usando a Equação A (
):
Substituindo
:
Passo 11
Agora, temos as Equações B (
) e C (
). Vamos subtrair a Equação C da Equação B:
Simplificando:
Passo 12
Com
, substituímos na Equação C:
Passo 13
Agora, usando a Equação A (
) e substituindo
e
nas Equações 3 ou 4. Vamos usar a Equação 3:
Simplificando:
Dividindo por -2:
Passo 14
Agora, temos as Equações A (
) e D (
). Subtraindo a Equação A da Equação D:
Simplificando:
Passo 15
Com
, substituímos na Equação A:
Resposta
O polinômio procurado é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
t) ,
t)
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Use o teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientado no sentido anti-horario quando visto de cima.
, C é a fronteira da parte do paraboloide
no primeiro octante.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
c)
c)