Determinar o ponto B simétrico de A-(-4;3) em relação à reta x+y+3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto $ B $ que é o simétrico de $ A(-4; 3) $ em relação à reta $ x + y + 3 = 0 $. Esse problema está na área de Geometria Analítica, onde a gente usa um pouco de álgebra e coordenadas para resolver questões de simetria em relação a uma reta. Para isso, vamos precisar entender como refletir um ponto sobre uma reta usando equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto simétrico em relação a uma reta. Se $ B $ é simétrico de $ A $ em relação à reta, então a reta é a mediatriz do segmento que une $ A $ e $ B $. Isso significa que a reta é perpendicular a esse segmento e que o ponto da reta está exatamente no meio entre $ A $ e $ B $.

Passo 3

Vamos começar encontrando a inclinação da reta $ x + y + 3 = 0 $. Podemos reescrever essa equação na forma de $ y = -x - 3 $. Assim, a inclinação $ m $ é x + y + 3 = 0 .

Passo 4

Sabendo que a reta perpendicular à $ x + y + 3 = 0 $ terá inclinação $ m_{\perp} $ que é o negativo do inverso de x + y + 3 = 0 . Então:
mperp

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta que passa por $ A(-4; 3) $ e é perpendicular à reta dada. Com a inclinação $ m_{\perp} = 1 $ e passando por $ (-4, 3) $, usamos a forma ponto-inclinação:
A(-4; 3)
Substituindo:
mperp = 1
(-4, 3)

Passo 6

Em seguida, encontramos o ponto de interseção dessas duas retas: $ x + y + 3 = 0 $ e $ y = x + 7 $. Substituindo $ y $ da segunda equação na primeira:
x + y + 3 = 0
y = x + 7
y
x + (x + 7) + 3 = 0
Agora, substituímos $ x = -5 $ na equação $ y = x + 7 $:
2x + 10 = 0
Então, o ponto de interseção é $ M(-5; 2) $.

Passo 7

Sabendo que $ M $ é o ponto médio entre $ A $ e $ B $, podemos usar as fórmulas de ponto médio para encontrar as coordenadas de $ B $. As fórmulas são:
M
A
Substituindo $ M(-5; 2) $ e $ A(-4; 3) $:
B
B
Resolvendo para $ x_B $:
xm = xA + xB2
ym = yA + yB2
Resolvendo para $ y_B $:
M(-5; 2)
A(-4; 3)

Resposta

O ponto $ B $ simétrico de $ A(-4; 3) $ em relação à reta $ x + y + 3 = 0 $ é $ B(-6; 1) $.

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