Uma circunferência de centro no ponto Q(2,0) passa pelo ponto de encontro das retas r e s de equações x-y-2=0 e x+y-6=0, respectivamente. Qual é a equação dessa circunferência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de geometria envolvendo circunferência e interseção de retas. O que precisamos fazer é encontrar a equação da circunferência que tem o centro no ponto Q(2, 0) e passa pelo ponto onde as duas retas se encontram. Para isso, vamos precisar encontrar a coordenada desse ponto de encontro e depois usar a fórmula da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de encontro das retas r e s. As equações das retas são:
Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas de onde elas se cruzam.
Passo 3
Somando as duas equações para eliminar o y:
Agora que temos x = 4, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar y.
Passo 4
Substituindo x = 4 na primeira equação:
Então, o ponto de encontro das retas r e s é (4, 2).
Passo 5
Agora que sabemos que a circunferência passa pelo ponto (4, 2) e tem centro em Q(2, 0), vamos usar a fórmula da circunferência. A fórmula geral é:
Onde (h, k) é o centro e r é o raio.
Passo 6
Substituindo o centro Q(2, 0) na fórmula:
Agora precisamos encontrar o valor de r, que é a distância entre o centro Q(2, 0) e o ponto (4, 2) que está na circunferência.
Passo 7
Vamos calcular a distância usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Onde (x₁, y₁) = (2, 0) e (x₂, y₂) = (4, 2).
Passo 8
Calculando a distância:
Então, o raio r é
.
Passo 9
Agora, substituímos r na equação da circunferência:
Resposta
A equação da circunferência é: