Uma circunferência de centro no ponto Q(2,0) passa pelo ponto de encontro das retas r e s de equações x-y-2=0 e x+y-6=0, respectivamente. Qual é a equação dessa circunferência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de geometria envolvendo circunferência e interseção de retas. O que precisamos fazer é encontrar a equação da circunferência que tem o centro no ponto Q(2, 0) e passa pelo ponto onde as duas retas se encontram. Para isso, vamos precisar encontrar a coordenada desse ponto de encontro e depois usar a fórmula da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de encontro das retas r e s. As equações das retas são:
x - y - 2 = 0 x + y - 6 = 0
Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas de onde elas se cruzam.

Passo 3

Somando as duas equações para eliminar o y:
(x - y - 2) + (x + y - 6) = 0 2x - 8 = 0 2x = 8 x = 4
Agora que temos x = 4, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar y.

Passo 4

Substituindo x = 4 na primeira equação:
4 - y - 2 = 0 2 - y = 0 y = 2
Então, o ponto de encontro das retas r e s é (4, 2).

Passo 5

Agora que sabemos que a circunferência passa pelo ponto (4, 2) e tem centro em Q(2, 0), vamos usar a fórmula da circunferência. A fórmula geral é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro e r é o raio.

Passo 6

Substituindo o centro Q(2, 0) na fórmula:
(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = r^2 (x - 2)^2 + y^2 = r^2
Agora precisamos encontrar o valor de r, que é a distância entre o centro Q(2, 0) e o ponto (4, 2) que está na circunferência.

Passo 7

Vamos calcular a distância usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Onde (x₁, y₁) = (2, 0) e (x₂, y₂) = (4, 2).

Passo 8

Calculando a distância:
d = raiz(4 - 2)^2 + (2 - 0)^2 d = raiz2^2 + 2^2 d = raiz4 + 4 d = raiz8 d = 2raiz2
Então, o raio r é 2raiz2.

Passo 9

Agora, substituímos r na equação da circunferência:
(x - 2)^2 + y^2 = (2raiz2)^2 (x - 2)^2 + y^2 = 8

Resposta

A equação da circunferência é:
(x - 2)^2 + y^2 = 8

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