Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se existe uma única transformação linear que transforma o vetor em e o vetor em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear deve obedecer a duas propriedades:
Adição: para quaisquer vetores e .
Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
Passo 3
Agora, vamos analisar os vetores dados:
Note que é o dobro de , ou seja, .
Passo 4
Pela propriedade de linearidade, se tivermos , que coincide com o que foi dado no exercício. Até aqui, tudo certo!
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa transformação é única. Para isso, precisamos ver se há mais de uma maneira de definir que satisfaça as condições dadas. Sabemos que na transformação linear, o que determinamos o T é como ele age na base do espaço.
Passo 6
Contudo, os vetores e são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). Isso significa que eles não formam uma base para . Assim, temos liberdade para escolher como age em outros vetores que não estão na direção de .
Passo 7
Portanto, podemos escolher diferentes valores para em vetores que não são múltiplos de , e ainda assim cumprir e . Isso implica que há infinitas transformações lineares que satisfazem as condições dadas.
Resposta
Não existe uma única transformação linear que satisfaça e . Há infinitas transformações que atendem a essas condições.