Determinar o ponto P de interseção dos planos pi1: 2 x-y+z-8=0, pi2: x+2 y-2 z+6=0 e pi3: 3 x-z-3=0 e uma equação do plano determinado por P e pela reta r:lx=y z=2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde três planos se cruzam e depois achar a equação de um plano que passa por esse ponto e por uma reta dada. Aqui, estamos usando conceitos de Geometria Analítica, como sistemas de equações lineares e equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações para achar e depois usar a fórmula da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos três planos:
pi1: 2x - y + z - 8 = 0
pi2: x + 2y - 2z + 6 = 0
pi3: 3x - z - 3 = 0
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de que satisfazem todas essas três equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de três equações. Uma boa estratégia é usar o método da substituição ou da combinação linear. Vamos começar isolando uma variável em uma das equações para facilitar.
Vamos da equação 3x - z - 3 = 0 implies z = 3x - 3 :
Agora podemos substituir nas outras duas equações.

Passo 4

Substituindo 2x - y + (3x - 3) - 8 = 0 na equação 2x - y + 3x - 3 - 8 = 0 :
5x - y - 11 = 0 implies y = 5x - 11
Agora temos em função de .

Passo 5

Agora, substituímos x + 2(5x - 11) - 2(3x - 3) + 6 = 0 e x + 10x - 22 - 6x + 6 + 6 = 0 na equação (1x + 10x - 6x) + (-22 + 6 + 6) = 0 :
5x - 10 = 0 implies 5x = 10 implies x = 2

Passo 6

Agora que temos y = 5x - 11 = 5(2) - 11 = 10 - 11 = -1 , podemos encontrar z = 3x - 3 = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 e usando as relações que já estabelecemos:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação do plano que passa pelo ponto l x = y z = 2y e pela reta y = t implies x = t e z = 2t dada por:
Primeiro, identificamos a direção da reta. Podemos reescrever as equações paramétricas da reta :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 8

Para encontrar o plano, precisamos de um vetor normal a ele. Sabemos que o plano contém o ponto PQ = Q - P = (0 - 2, 0 - (-1), 0 - 3) = (-2, 1, -3) e a reta v = (1, 1, 2) . Vamos considerar um ponto qualquer na reta n = PQ times v , por exemplo, quando , temos o ponto .
Agora, formamos dois vetores no plano:
O vetor normal ao plano é o produto vetorial de e :

Passo 9

Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k -2 & 1 & -3 1 & 1 & 2 = i(1 cdot 2 - (-3) cdot 1) - j(-2 cdot 2 - (-3) cdot 1) + k(-2 cdot 1 - 1 cdot 1)
= i(2 + 3) - j(-4 + 3) + k(-2 -1)
= 5i + j - 3k
n = (5, 1, -3)

Passo 10

Agora, usando o vetor normal 5(x - 2) + 1(y + 1) - 3(z - 3) = 0 e o ponto 5x - 10 + y + 1 - 3z + 9 = 0 , podemos escrever a equação do plano na forma:
5x + y - 3z = 0

Resposta

O ponto de interseção é e a equação do plano é .

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