Determinar o ponto de interseção dos planos e e uma equação do plano determinado por e pela reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde três planos se cruzam e depois achar a equação de um plano que passa por esse ponto e por uma reta dada. Aqui, estamos usando conceitos de Geometria Analítica, como sistemas de equações lineares e equações de planos e retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações para achar e depois usar a fórmula da equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos três planos:
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de que satisfazem todas essas três equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de três equações. Uma boa estratégia é usar o método da substituição ou da combinação linear. Vamos começar isolando uma variável em uma das equações para facilitar.
Vamos da equação :
Agora podemos substituir nas outras duas equações.
Passo 4
Substituindo na equação :
Agora temos em função de .
Passo 5
Agora, substituímos e na equação :
Passo 6
Agora que temos , podemos encontrar e usando as relações que já estabelecemos:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 7
Agora, vamos encontrar a equação do plano que passa pelo ponto e pela reta dada por:
Primeiro, identificamos a direção da reta. Podemos reescrever as equações paramétricas da reta :
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 8
Para encontrar o plano, precisamos de um vetor normal a ele. Sabemos que o plano contém o ponto e a reta . Vamos considerar um ponto qualquer na reta , por exemplo, quando , temos o ponto .
Agora, formamos dois vetores no plano:
O vetor normal ao plano é o produto vetorial de e :
Passo 9
Calculando o produto vetorial:
= i(2 + 3) - j(-4 + 3) + k(-2 -1)
= 5i + j - 3k
n = (5, 1, -3)
Passo 10
Agora, usando o vetor normal 5(x - 2) + 1(y + 1) - 3(z - 3) = 0 e o ponto 5x - 10 + y + 1 - 3z + 9 = 0 , podemos escrever a equação do plano na forma: