Encontre uma equação geral do plano determinado pelas seguintes retas:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar a equação geral de um plano que contém as retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica em 3D, especificamente sobre equações de planos e retas. Vamos precisar das equações das retas dadas e entender como derivar a equação de um plano a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que definem as retas e .
Para a reta :
Para a reta :
Passo 3
Agora, vamos encontrar a direção de cada reta. Para isso, precisamos encontrar o vetor diretor de cada reta, que é perpendicular aos vetores normais dos planos que definem a reta.
Para a reta , os vetores normais são e .
Calculamos o produto vetorial :
Portanto, o vetor diretor de é .
Para a reta , os vetores normais são e .
Calculamos o produto vetorial :
Simplificando, o vetor diretor de é .
Passo 4
Para encontrar a equação do plano que contém ambas as retas n = dr times ds = i & j & k 1 & -1 & 2 4 & 4 & 8 = (-1)(8) - 2(4)i - [1(8) - 2(4)]j + [1(4) - (-1)(4)]k = (-8 - 8)i - (8 - 8)j + (4 + 4)k = (-16, 0, 8) e n = (-2, 0, 1) , precisamos que este plano seja perpendicular a um vetor normal que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e .
Calculamos o produto vetorial entre e :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 8:
Passo 5
Agora, precisamos de um ponto que pertença ao plano. Podemos usar um ponto da reta 3x - y = 0 8x - 2y + 1 = 0 . Para encontrar um ponto, atribuímos um valor a uma das variáveis e resolvemos as equações da reta.
Vamos supor que 8x - 2(3x) + 1 = 0 Rightarrow 8x - 6x + 1 = 0 Rightarrow 2x = -1 Rightarrow x = -12 na reta y = 3 (-12) = -32 :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Portanto, um ponto no plano é .
Passo 6
Com o vetor normal -2(x - x0) + 0(y - y0) + 1(z - z0) = 0 e o ponto -2(x + 12) + 0(y + 32) + 1(z - 0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano.
A equação do plano é dada por:
-2x -1 + z = 0
Substituindo , , :
Resposta
A equação geral do plano que contém as retas -2x + z - 1 = 0 e é: