Encontre uma equação geral do plano determinado pelas seguintes retas:
r:l 3 x-y-z=0 8 x-2 y-3 z+1=0 e s:l x-3 y+z+3=0 3 x-y-z+5=0

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar a equação geral de um plano que contém as retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica em 3D, especificamente sobre equações de planos e retas. Vamos precisar das equações das retas dadas e entender como derivar a equação de um plano a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que definem as retas 3x - y - z = 0 8x - 2y - 3z + 1 = 0 e x - 3y + z + 3 = 0 3x - y - z + 5 = 0 .
Para a reta :
Para a reta :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a direção de cada reta. Para isso, precisamos encontrar o vetor diretor de cada reta, que é perpendicular aos vetores normais dos planos que definem a reta.
Para a reta dr = i & j & k 3 & -1 & -1 8 & -2 & -3 = (-1)(-3) - (-1)(-2)i - [3(-3) - (-1)(8)]j + [3(-2) - (-1)(8)]k = (3 - 2)i - (-9 - (-8))j + (-6 + 8)k = (1, -1, 2) , os vetores normais são ds = i & j & k 1 & -3 & 1 3 & -1 & -1 = (-3)(-1) - (1)(-1)i - [1(-1) - 1(3)]j + [1(-1) - (-3)(3)]k = (3 + 1)i - (-1 - 3)j + (-1 + 9)k = (4, 4, 8) e .
Calculamos o produto vetorial :
Portanto, o vetor diretor de é .
Para a reta , os vetores normais são e .
Calculamos o produto vetorial :
Simplificando, o vetor diretor de é .

Passo 4

Para encontrar a equação do plano que contém ambas as retas n = dr times ds = i & j & k 1 & -1 & 2 4 & 4 & 8 = (-1)(8) - 2(4)i - [1(8) - 2(4)]j + [1(4) - (-1)(4)]k = (-8 - 8)i - (8 - 8)j + (4 + 4)k = (-16, 0, 8) e n = (-2, 0, 1) , precisamos que este plano seja perpendicular a um vetor normal que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e .
Calculamos o produto vetorial entre e :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 8:

Passo 5

Agora, precisamos de um ponto que pertença ao plano. Podemos usar um ponto da reta 3x - y = 0 8x - 2y + 1 = 0 . Para encontrar um ponto, atribuímos um valor a uma das variáveis e resolvemos as equações da reta.
Vamos supor que 8x - 2(3x) + 1 = 0 Rightarrow 8x - 6x + 1 = 0 Rightarrow 2x = -1 Rightarrow x = -12 na reta y = 3 (-12) = -32 :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Portanto, um ponto no plano é .

Passo 6

Com o vetor normal -2(x - x0) + 0(y - y0) + 1(z - z0) = 0 e o ponto -2(x + 12) + 0(y + 32) + 1(z - 0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano.
A equação do plano é dada por:
-2x -1 + z = 0
Substituindo , , :

Resposta

A equação geral do plano que contém as retas -2x + z - 1 = 0 e é:

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