Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem:
26.1)
26.2)
26.3)
26.4)
26.1)
26.2)
26.3)
26.4)
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos de várias funções. Isso está ligado ao estudo das derivadas, que nos ajuda a encontrar onde uma função atinge máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Vamos precisar calcular as derivadas das funções dadas e igualá-las a zero para encontrar esses pontos críticos.
Passo 2
Vamos começar pela primeira função:
26.1)
Primeiro, precisamos achar a derivada dessa função. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Agora, para encontrar o ponto crítico completo, substituímos
na função original:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda função:
26.2)
Primeiro, calculamos a derivada dessa função:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática usando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais. Portanto, essa função não tem pontos críticos reais.
Passo 6
Passando para a terceira função:
26.3)
Calculamos a derivada:
Passo 7
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso ocorre quando:
Então, os pontos críticos são todos os valores de
que satisfazem essa equação, ou seja,
.
Passo 8
Finalmente, a quarta função:
26.4)
Calculamos a derivada:
Passo 9
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Então, o ponto crítico é
.
Resposta
26.1) O ponto crítico é
.
26.2) Não existem pontos críticos reais.
26.3) Os pontos críticos são
, onde
é qualquer inteiro.
26.4) O ponto crítico é
.