Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem:
26.1) y = x^2 - 3x + 8
26.2) y = x^3 + 2 x^2 + 5 x + 3
26.3) y = sen x
26.4) y = e^x - x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos de várias funções. Isso está ligado ao estudo das derivadas, que nos ajuda a encontrar onde uma função atinge máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Vamos precisar calcular as derivadas das funções dadas e igualá-las a zero para encontrar esses pontos críticos.

Passo 2

Vamos começar pela primeira função:
26.1)
Primeiro, precisamos achar a derivada dessa função. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Agora, para encontrar o ponto crítico completo, substituímos na função original:
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função:
26.2)
Primeiro, calculamos a derivada dessa função:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática usando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais. Portanto, essa função não tem pontos críticos reais.

Passo 6

Passando para a terceira função:
26.3)
Calculamos a derivada:

Passo 7

Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso ocorre quando:
Então, os pontos críticos são todos os valores de que satisfazem essa equação, ou seja, .

Passo 8

Finalmente, a quarta função:
26.4)
Calculamos a derivada:

Passo 9

Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para :
Então, o ponto crítico é .

Resposta

26.1) O ponto crítico é .
26.2) Não existem pontos críticos reais.
26.3) Os pontos críticos são , onde é qualquer inteiro.
26.4) O ponto crítico é .

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