Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
(k) y = { x, x < 0; x², x ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função dada. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Precisamos calcular a derivada da função em cada parte e ver onde ela é igual a zero ou onde a derivada não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função:
Vamos calcular a derivada em cada intervalo.

Passo 3

Para :
A função é . A derivada de é:
Então, para , . Isso nunca é zero.

Passo 4

Para :
A função é . A derivada de é:
Agora, vamos ver onde essa derivada é igual a zero:
Então, é um ponto onde a derivada é zero.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a derivada existe em . Vamos conferir os limites das derivadas pelo lado esquerdo e direito:
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), .
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), .
Como os limites das derivadas são diferentes, a derivada não existe em .

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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