Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
(b) f(x) = { x², se x ≥ 1; 2x, se x < 1 }, [a, b] = [0, 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) estão satisfeitas para a função dada no intervalo [0, 4]. Se não estiverem, precisamos decidir se a conclusão do teorema ainda é válida. Vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade de funções para aplicar o TVM.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função é igual à taxa média de variação da função no intervalo. Matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função dada é contínua no intervalo . A função é definida por partes:
Para a função ser contínua no intervalo, ela precisa ser contínua em cada parte e também no ponto onde as partes se encontram, ou seja, em .

Passo 4

Vamos verificar a continuidade em :
  • Limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
  • Valor da função em :
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função apresenta uma descontinuidade em .

Passo 5

Agora que sabemos que a função não é contínua em todo o intervalo (devido à descontinuidade em ), as hipóteses do Teorema do Valor Médio não estão totalmente satisfeitas. O TVM requer que a função seja contínua em todo o intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto.

Passo 6

Mesmo que as hipóteses do TVM não estejam satisfeitas, vamos verificar se, por acaso, a conclusão do teorema ainda é válida. Ou seja, existe algum em tal que:
Vamos calcular:
  • Taxa média de variação:

Passo 7

Agora, vamos achar tal que .
A derivada da função é:
Queremos encontrar em onde .
  • Para : . Não é igual a 4.
  • Para :
Como está dentro de , encontramos que satisfaz a condição .

Resposta

Embora as hipóteses do Teorema do Valor Médio não estejam totalmente satisfeitas devido à descontinuidade em , a conclusão do teorema ainda é válida neste caso específico. Existe em onde , que é igual à taxa média de variação da função no intervalo.

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