Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) estão satisfeitas para a função dada no intervalo [0, 4]. Se não estiverem, precisamos decidir se a conclusão do teorema ainda é válida. Vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade de funções para aplicar o TVM.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada da função é igual à taxa média de variação da função no intervalo. Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
dada é contínua no intervalo
. A função é definida por partes:
Para a função ser contínua no intervalo, ela precisa ser contínua em cada parte e também no ponto onde as partes se encontram, ou seja, em
.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade em
:
-
Limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ): -
Limite quando
se aproxima de 1 pela direita ( ): -
Valor da função em
:
Como os limites laterais não são iguais (
), a função apresenta uma descontinuidade em
.
Passo 5
Agora que sabemos que a função não é contínua em todo o intervalo
(devido à descontinuidade em
), as hipóteses do Teorema do Valor Médio não estão totalmente satisfeitas. O TVM requer que a função seja contínua em todo o intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto.
Passo 6
Mesmo que as hipóteses do TVM não estejam satisfeitas, vamos verificar se, por acaso, a conclusão do teorema ainda é válida. Ou seja, existe algum
em
tal que:
Vamos calcular:
-
-
- Taxa média de variação:
Passo 7
Agora, vamos achar
tal que
.
A derivada da função
é:
Queremos encontrar
em
onde
.
- Para
: . Não é igual a 4. - Para
:
Como
está dentro de
, encontramos que
satisfaz a condição
.
Resposta
Embora as hipóteses do Teorema do Valor Médio não estejam totalmente satisfeitas devido à descontinuidade em
, a conclusão do teorema ainda é válida neste caso específico. Existe
em
onde
, que é igual à taxa média de variação da função no intervalo.