Encontre os pontos da curva (x^2 + y^2)^2 = 2x^2 - 2y^2 onde as retas tangentes são horizontais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a curva definida pela equação . O objetivo é encontrar os pontos nessa curva onde as retas tangentes são horizontais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas implícitas para achar a inclinação da reta tangente e identificar onde essa inclinação é zero (ou seja, horizontal).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente ser horizontal significa que a derivada de em relação a ( ) é igual a zero. Então, precisamos encontrar para a curva dada.

Passo 3

Vamos aplicar a derivada implícita na equação . A derivada de ambos os lados em relação a será:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Distribuindo :
Vamos reunir os termos com :

Passo 6

Fatorando no lado esquerdo:
Isolando :
Simplificando:

Passo 7

Para as retas tangentes serem horizontais, . Então, o numerador da fração deve ser zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. , ou seja,

Passo 8

Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo na equação original:
Isso dá ou . Como não pode ser negativo, temos . Então, um ponto é .
Caso 2:
Substituindo na equação original:
Como , podemos substituir :
Encontrando :
Então, os pontos são e , e .

Resposta

Os pontos da curva onde as retas tangentes são horizontais são:

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