Encontre os pontos da curva
onde as retas tangentes são horizontais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a curva definida pela equação
. O objetivo é encontrar os pontos nessa curva onde as retas tangentes são horizontais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas implícitas para achar a inclinação da reta tangente e identificar onde essa inclinação é zero (ou seja, horizontal).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente ser horizontal significa que a derivada de
em relação a
(
) é igual a zero. Então, precisamos encontrar
para a curva dada.
Passo 3
Vamos aplicar a derivada implícita na equação
. A derivada de ambos os lados em relação a
será:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Distribuindo
:
Vamos reunir os termos com
:
Passo 6
Fatorando
no lado esquerdo:
Isolando
:
Simplificando:
Passo 7
Para as retas tangentes serem horizontais,
. Então, o numerador da fração deve ser zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
, ou seja,
Passo 8
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo
na equação original:
Isso dá
ou
. Como
não pode ser negativo, temos
. Então, um ponto é
.
Caso 2:
Substituindo
na equação original:
Como
, podemos substituir
:
Encontrando
:
Então, os pontos são
e
,
e
.
Resposta
Os pontos da curva onde as retas tangentes são horizontais são: