Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função
e usar o teste da primeira derivada para verificar se esses pontos são extremos relativos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada de uma função polinomial é dada pela soma das derivadas de cada termo.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
.
Dividindo ambos os lados por 3:
Resolvendo a equação:
Portanto, temos dois pontos críticos em
e
.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos.
Para
:
Escolhemos um valor menor que -1, por exemplo,
:
Escolhemos um valor entre -1 e 1, por exemplo,
:
Como a derivada muda de positiva para negativa em
, isso indica que
é um ponto de máximo relativo.
Para
:
Escolhemos um valor entre -1 e 1, por exemplo,
:
Escolhemos um valor maior que 1, por exemplo,
:
Como a derivada muda de negativa para positiva em
, isso indica que
é um ponto de mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(máximo relativo) e
(mínimo relativo).