Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(b) f(x) = x^3 - 3x + 5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e usar o teste da primeira derivada para verificar se esses pontos são extremos relativos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada de uma função polinomial é dada pela soma das derivadas de cada termo.
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde .
Dividindo ambos os lados por 3:
Resolvendo a equação:
Portanto, temos dois pontos críticos em e .

Passo 4

Vamos aplicar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos.
Para :
Escolhemos um valor menor que -1, por exemplo, :
Escolhemos um valor entre -1 e 1, por exemplo, :
Como a derivada muda de positiva para negativa em , isso indica que é um ponto de máximo relativo.
Para :
Escolhemos um valor entre -1 e 1, por exemplo, :
Escolhemos um valor maior que 1, por exemplo, :
Como a derivada muda de negativa para positiva em , isso indica que é um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são (máximo relativo) e (mínimo relativo).

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