Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
(a)
(b) .
© .
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos de inflexão das funções e identificar onde elas têm concavidade para cima ou para baixo. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas de segunda ordem. Precisamos calcular as derivadas das funções para determinar onde a curvatura muda.

Passo 2

Vamos começar com a função (a):
Primeiro, vamos encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função.
A primeira derivada, , nos dá a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto.
Agora, a segunda derivada, , nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver :
Então, temos um ponto de inflexão em .

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, analisamos o sinal de nos intervalos criados pelo ponto de inflexão .
  1. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    Então, é côncava para cima nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    Então, é côncava para baixo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos resolver a função (b):
Vamos usar cálculo diferencial para encontrar as derivadas e determinar os pontos de inflexão e concavidades.

Passo 6

Primeira e segunda derivada da função (b):

Passo 7

Encontramos os pontos onde :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos:
Portanto, os pontos de inflexão estão em e .

Passo 8

Vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados por e :
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para cima.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para baixo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para cima.

Passo 9

Vamos para a função ©:
Aqui, também vamos usar derivadas para encontrar pontos de inflexão e concavidades.

Passo 10

Primeira e segunda derivada da função ©:

Passo 11

Procuramos onde :
Essa equação nunca é igual a zero, pois o numerador é sempre 2 e o denominador nunca é zero (exceto em , onde a função não existe).
Portanto, não há pontos de inflexão.

Passo 12

Mesmo sem pontos de inflexão, podemos analisar a concavidade observando o sinal de :
  • Para :
    O denominador é positivo, então .
    Concavidade para cima.
  • Para :
    O denominador é negativo, então .
    Concavidade para baixo.

Passo 13

Finalmente, vamos resolver a função (d):
Usaremos derivadas para encontrar pontos de inflexão e concavidades.

Passo 14

Primeira e segunda derivada da função (d):
Primeiro, identificamos que , que é um produto de duas funções. Vamos usar a regra do produto para derivar.
Agora, para a segunda derivada, aplicamos a regra do produto novamente:

Passo 15

Vamos encontrar onde :
Como nunca é zero, resolvemos:
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 16

Vamos analisar o sinal de nos intervalos criados por :
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para baixo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para cima.

Resposta

Para a função :
  • Ponto de inflexão em .
  • Concavidade para baixo no intervalo .
  • Concavidade para cima no intervalo .

Exercícios relacionados

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções.
(a) .
(b) .
©
(d) .
Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
(a) .
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Se para , encontre .
Calcule os seguintes limites.
(g)