Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
(a)
(b)
.
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos de inflexão das funções e identificar onde elas têm concavidade para cima ou para baixo. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas de segunda ordem. Precisamos calcular as derivadas das funções para determinar onde a curvatura muda.
Passo 2
Vamos começar com a função (a):
Primeiro, vamos encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função.
A primeira derivada,
, nos dá a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto.
Agora, a segunda derivada,
, nos ajuda a entender a concavidade da função.
Passo 3
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver
:
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, analisamos o sinal de
nos intervalos criados pelo ponto de inflexão
.
-
Intervalo
: Escolha um valor, por exemplo,: Então,é côncava para cima nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha um valor, por exemplo,: Então,é côncava para baixo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos resolver a função (b):
Vamos usar cálculo diferencial para encontrar as derivadas e determinar os pontos de inflexão e concavidades.
Passo 6
Primeira e segunda derivada da função (b):
Passo 7
Encontramos os pontos onde
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos:
Portanto, os pontos de inflexão estão em
e
.
Passo 8
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados por
e
:
-
Intervalo
: Escolha: Concavidade para cima. -
Intervalo
: Escolha: Concavidade para baixo. -
Intervalo
: Escolha: Concavidade para cima.
Passo 9
Vamos para a função ©:
Aqui, também vamos usar derivadas para encontrar pontos de inflexão e concavidades.
Passo 10
Primeira e segunda derivada da função ©:
Passo 11
Procuramos onde
:
Essa equação nunca é igual a zero, pois o numerador é sempre 2 e o denominador nunca é zero (exceto em
, onde a função não existe).
Portanto, não há pontos de inflexão.
Passo 12
Mesmo sem pontos de inflexão, podemos analisar a concavidade observando o sinal de
:
-
Para
: O denominadoré positivo, então . Concavidade para cima. -
Para
: O denominadoré negativo, então . Concavidade para baixo.
Passo 13
Finalmente, vamos resolver a função (d):
Usaremos derivadas para encontrar pontos de inflexão e concavidades.
Passo 14
Primeira e segunda derivada da função (d):
Primeiro, identificamos que
, que é um produto de duas funções. Vamos usar a regra do produto para derivar.
Agora, para a segunda derivada, aplicamos a regra do produto novamente:
Passo 15
Vamos encontrar onde
:
Como
nunca é zero, resolvemos:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Passo 16
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos criados por
:
-
Intervalo
: Escolha: Concavidade para baixo. -
Intervalo
: Escolha: Concavidade para cima.
Resposta
Para a função
:
- Ponto de inflexão em
. - Concavidade para baixo no intervalo
. - Concavidade para cima no intervalo
.
Exercícios relacionados
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções.
(a) .
(b) .
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
(a) .
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Se
para
, encontre
.
Calcule os seguintes limites.
(g)
(g)