Se 4 x-9 <= f(x) <= x^2-4 x+7 para x >= 0, encontre lim x 4 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a função está entre e para todo . Nosso objetivo aqui é encontrar o limite de quando se aproxima de 4. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Aperto (também conhecido como Teorema do Sandwich), que nos ajuda a determinar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 4 (4x - 9) = 4 times 4 - 9 = 16 - 9 = 7 quando se aproxima de 4. Isso é simples:
Ou seja, o limite de em é 7.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 4 (x^2 - 4x + 7) = 4^2 - 4 times 4 + 7 = 16 - 16 + 7 = 7 quando se aproxima de 4:
Então, o limite de em também é 7.

Passo 4

Agora que temos os limites das duas funções que “apertam” , ou seja, , ambos convergem para 7 quando se aproxima de 4.
Segundo o Teorema do Aperto, se uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então ela própria também tem esse limite no mesmo ponto.

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Aperto, temos:
limx to 4 f(x) = 7

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