Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo:
i) f(x) = { 2x - x^2, x < 1; x, x ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos de inflexão e identificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. A função que estamos analisando é uma função por partes:
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A concavidade para cima significa que a segunda derivada é positiva, e para baixo, negativa.
Para :
Para :

Passo 4

Vamos analisar o sinal da segunda derivada em cada intervalo:
  • Para :
    Isso significa que a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para :
    A segunda derivada zero indica que não há concavidade definida; a função é linear nesse trecho.

Passo 5

Agora, vamos verificar se existe algum ponto de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda de para cima para para baixo ou vice-versa.
Vamos analisar o ponto onde a função muda de definição, em :
  • À esquerda de 1 ( ):
  • À direita de 1 ( ):
Como a concavidade muda de negativa para indefinida, podemos considerar que não há uma mudança clara de concavidade. Portanto, não há ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para baixo no intervalo e não apresenta concavidade definida para . Não existem pontos de inflexão para essa função.

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