Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos de inflexão e identificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. A função que estamos analisando é uma função por partes:
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para descobrir a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A concavidade para cima significa que a segunda derivada é positiva, e para baixo, negativa.
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da segunda derivada em cada intervalo:
-
Para
: Isso significa que a função é côncava para baixo nesse intervalo. -
Para
: A segunda derivada zero indica que não há concavidade definida; a função é linear nesse trecho.
Passo 5
Agora, vamos verificar se existe algum ponto de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda de para cima para para baixo ou vice-versa.
Vamos analisar o ponto onde a função muda de definição, em
:
-
À esquerda de 1 (
): -
À direita de 1 (
):
Como a concavidade muda de negativa para indefinida, podemos considerar que não há uma mudança clara de concavidade. Portanto, não há ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para baixo no intervalo
e não apresenta concavidade definida para
. Não existem pontos de inflexão para essa função.