Demonstrar que a função y = a x^2 + b x + c, x pertencente a R, tem máximo se, e somente se, a < 0; e mínimo se, e somente se, a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função quadrática tem um máximo se e um mínimo se . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto crítico onde a derivada é igual a zero. Esse ponto pode ser um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada da função.
  • Se , a concavidade da parábola é para cima, indicando um mínimo.
  • Se , a concavidade é para baixo, indicando um máximo.

Passo 5

Como :
  • Se , então a função tem um mínimo.
  • Se , então a função tem um máximo.

Resposta

Portanto, a função tem máximo se e mínimo se .

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