Demonstrar que a função
, tem máximo se, e somente se,
; e mínimo se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função quadrática
tem um máximo se
e um mínimo se
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto crítico onde a derivada é igual a zero. Esse ponto pode ser um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada da função.
- Se
, a concavidade da parábola é para cima, indicando um mínimo. - Se
, a concavidade é para baixo, indicando um máximo.
Passo 5
Como
:
- Se
, então a função tem um mínimo. - Se
, então a função tem um máximo.
Resposta
Portanto, a função
tem máximo se
e mínimo se
.