Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada
para cima ou para baixo.
(a) f(x) = -x^3 + 5x^2 - 6x.
(b) f(x) = 3 x^4 - 10 x^3 - 12 x^2 + 10 x + 9.
(i) f(x) = { 2x - x², x < 1; x, x ≥ 1 }
(j) f(x) = { x^2 - 4, x <= 2; 4 - x^2, x > 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos de inflexão e identificar onde a função tem concavidade para cima ou para baixo. O conteúdo que vamos usar aqui é derivadas, mais especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. Vamos precisar calcular a segunda derivada da função dada e analisar onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Vamos verificar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para determinar a concavidade:
  • Para :
    Vamos escolher :
    Então, a concavidade é para cima nesse intervalo.
  • Para :
    Vamos escolher :
    Então, a concavidade é para baixo nesse intervalo.

Passo 6

Concluímos que em há um ponto de inflexão, pois a concavidade da função muda de cima para baixo.

Resposta

A função tem um ponto de inflexão em . A concavidade é para cima no intervalo e para baixo em .

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