Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada
para cima ou para baixo.
(a)
.
(b)
.
(i)
(j)
para cima ou para baixo.
(a)
(b)
(i)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos de inflexão e identificar onde a função tem concavidade para cima ou para baixo. O conteúdo que vamos usar aqui é derivadas, mais especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. Vamos precisar calcular a segunda derivada da função dada e analisar onde ela muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Vamos verificar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para determinar a concavidade:
-
Para
: Vamos escolher: Então, a concavidade é para cima nesse intervalo. -
Para
: Vamos escolher: Então, a concavidade é para baixo nesse intervalo.
Passo 6
Concluímos que em
há um ponto de inflexão, pois a concavidade da função muda de cima para baixo.
Resposta
A função
tem um ponto de inflexão em
. A concavidade é para cima no intervalo
e para baixo em
.
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(a) .
(b) .
(h) .
(a)
(b)
(h)
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gráfico e comparar os resultados.
(a) .
(b) .
(g)
(h) .
gráfico e comparar os resultados.
(a)
(b)
(g)
(h)
Justifique o valor de