[3,0 pontos.] Calcule, se existir lim x 2 x^3+3 x^2-12 x+4x^3-4 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . O que vamos precisar aqui é entender como calcular limites, especialmente quando temos uma forma indeterminada como . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de diretamente na expressão para ver o que acontece. Isso ajuda a identificar se já conseguimos o limite ou se precisamos de mais manobras.
Numerador:
Denominador:
Aí temos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada r|rrrr 2 & 1 & 3 & -12 & 4 & & 2 & 10 & -4 hline & 1 & 5 & -2 & 0 , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos iguais. Vamos começar fatorando o numerador .
Vamos tentar dividir por usando a divisão sintética:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^3-4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) . Podemos fatorar tirando o em evidência:
Então, o denominador fatorado é .

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original:
limx to 2 (x - 2)(x^2 + 5x - 2)x(x - 2)(x + 2)
Agora, podemos cancelar o termo limx to 2 x^2 + 5x - 2x(x + 2) que está no numerador e denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir 2^2 + 5 cdot 2 - 22(2 + 2) = 4 + 10 - 22 cdot 4 = 128 = 32 diretamente:

Resposta

O limite é igual a .

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