[3,0 pontos.] Calcule, se existir lim x 2 x^3+3 x^2-12 x+4x^3-4 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . O que vamos precisar aqui é entender como calcular limites, especialmente quando temos uma forma indeterminada como . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de diretamente na expressão para ver o que acontece. Isso ajuda a identificar se já conseguimos o limite ou se precisamos de mais manobras.
Numerador:
Denominador:
Aí temos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada r|rrrr 2 & 1 & 3 & -12 & 4 & & 2 & 10 & -4 hline & 1 & 5 & -2 & 0 , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos iguais. Vamos começar fatorando o numerador .
Vamos tentar dividir por usando a divisão sintética:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^3-4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) . Podemos fatorar tirando o em evidência:
Então, o denominador fatorado é .

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original:
limx to 2 (x - 2)(x^2 + 5x - 2)x(x - 2)(x + 2)
Agora, podemos cancelar o termo limx to 2 x^2 + 5x - 2x(x + 2) que está no numerador e denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir 2^2 + 5 cdot 2 - 22(2 + 2) = 4 + 10 - 22 cdot 4 = 128 = 32 diretamente:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada
para cima ou para baixo.
(a) f(x) = -x^3 + 5x^2 - 6x.
(b) f(x) = 3 x^4 - 10 x^3 - 12 x^2 + 10 x + 9.
(i) f(x) = { 2x - x², x < 1; x, x ≥ 1 }
(j) f(x) = { x^2 - 4, x <= 2; 4 - x^2, x > 2 }
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções.
(a) f(x) = 2x + 5.
(b) f(x) = 3*x^2 + 6*x + 1.
g(x) = x * e^x
(h) h(x) = 1 / raiz(x).
[3,0 pontos.] Seja
f(x)=ccc x-1 & se & x <= 3 3 x-7 & se & x>3
Justifique o valor de lim x 3 f(x)
[2,0 pontos cada item.] Considere a função
f(x) = 3/x + (x-1)/(x^2-1)
(a) Caso existam ponto ou pontos de descontinuidade, explique por que a função abaixo é descontínua nesses pontos.