[3,0 pontos.] Seja
f(x)=ccc x-1 & se & x <= 3 3 x-7 & se & x>3
Justifique o valor de lim x 3 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente justificar o valor de , onde a função é definida de forma diferente para e para . Isso está relacionado ao conteúdo de limites de funções, e para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando se aproxima de 3 por ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para determinar o limite de uma função em um ponto, especialmente quando a função é definida em partes diferentes, é importante analisar os limites laterais: o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ) e o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ). Se esses dois limites existirem e forem iguais, então o limite geral existe e é igual a esse valor comum.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando f(x) = x - 1 se aproxima de 3 pela esquerda, ou seja, quando limx to 3^- f(x) = limx to 3^- (x - 1) = 3 - 1 = 2 . Para , a função é dada por:
Então, substituímos por 3 nessa expressão:
Portanto, o limite pela esquerda �� 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 3x - 7 se aproxima de 3 pela direita, ou seja, quando limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ (3x - 7) = 3 times 3 - 7 = 9 - 7 = 2 . Para , a função é dada por:
Substituindo por 3 nessa expressão:
Então, o limite pela direita também é 2.

Passo 5

Como os limites laterais são iguais:
limx to 3^- f(x) = limx to 3^+ f(x) = 2
Isso significa que o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

lim x 3 f(x) = 2

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para cima ou para baixo.
(a) f(x) = -x^3 + 5x^2 - 6x.
(b) f(x) = 3 x^4 - 10 x^3 - 12 x^2 + 10 x + 9.
(i) f(x) = { 2x - x², x < 1; x, x ≥ 1 }
(j) f(x) = { x^2 - 4, x <= 2; 4 - x^2, x > 2 }
[2,0 pontos cada item.] Considere a função
f(x) = 3/x + (x-1)/(x^2-1)
(a) Caso existam ponto ou pontos de descontinuidade, explique por que a função abaixo é descontínua nesses pontos.
Reescreva as integrais abaixo usando o teorema de frações parciais. Não precisa resolver nem encontrar as constantes A1, A2
integral2^3 -2 x+4(x^2+1)(x-1)(x-4)^3 d x