Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortogonal para o subespaço do
gerado pelos vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para um subespaço de
usando o produto interno usual. Os vetores que geram esse subespaço são
,
e
. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores originais de
,
e
:
O objetivo é construir uma nova base ortogonal
a partir desses vetores.
Passo 3
Começamos definindo
como o primeiro vetor da nossa base:
Esse será o nosso primeiro vetor ortogonal. Agora, vamos ajustar o segundo vetor para que ele seja ortogonal a
.
Passo 4
Para tornar
ortogonal a
, subtraímos de
a projeção de
em
. A fórmula da projeção é:
Vamos calcular os produtos internos:
Então,
Agora, ajustamos
:
Agora,
é ortogonal a
.
Passo 5
Agora, vamos ajustar o terceiro vetor
para que ele seja ortogonal tanto a
quanto a
. Primeiro, subtraímos as projeções de
em
e em
:
Calculando:
Agora, a projeção em
:
Calculando:
Finalmente, ajustamos
:
Fazendo as contas:
Simplificando cada componente:
Podemos simplificar:
Agora, temos que
,
e
são mutuamente ortogonais.
Resposta
A base ortogonal para o subespaço de
gerado pelos vetores dados, em relação ao produto interno usual, é: