Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortogonal para o subespaço do gerado pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para um subespaço de usando o produto interno usual. Os vetores que geram esse subespaço são , e . Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores originais de , e :
O objetivo é construir uma nova base ortogonal a partir desses vetores.
Passo 3
Começamos definindo como o primeiro vetor da nossa base:
Esse será o nosso primeiro vetor ortogonal. Agora, vamos ajustar o segundo vetor para que ele seja ortogonal a .
Passo 4
Para tornar ortogonal a , subtraímos de a projeção de em . A fórmula da projeção é:
Vamos calcular os produtos internos:
Então,
Agora, ajustamos :
Agora, é ortogonal a .
Passo 5
Agora, vamos ajustar o terceiro vetor para que ele seja ortogonal tanto a quanto a . Primeiro, subtraímos as projeções de em e em :
Calculando:
Agora, a projeção em :
Calculando:
Finalmente, ajustamos :
Fazendo as contas:
Simplificando cada componente:
Podemos simplificar:
Agora, temos que , e são mutuamente ortogonais.
Resposta
A base ortogonal para o subespaço de gerado pelos vetores dados, em relação ao produto interno usual, é: