Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortogonal para o subespaço do IR^4 gerado pelos vetores v1=(1,0,-1,1), v2=(0,1,0,1) e v3=(1,1,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para um subespaço de R^4 usando o produto interno usual. Os vetores que geram esse subespaço são v1=(1,0,-1,1), v2=(0,1,0,1) e v3=(1,1,-1,2). Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em uma base ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores originais de u1, u2 e u3:
u1 = (1, 0, -1, 1), u2 = (0, 1, 0, 1), u3 = (1, 1, -1, 2)
O objetivo é construir uma nova base ortogonal e1, e2, e3 a partir desses vetores.

Passo 3

Começamos definindo e1 como o primeiro vetor da nossa base:
e1 = u1 = (1, 0, -1, 1)
Esse será o nosso primeiro vetor ortogonal. Agora, vamos ajustar o segundo vetor para que ele seja ortogonal a e1.

Passo 4

Para tornar u2 ortogonal a e1, subtraímos de u2 a projeção de u2 em e1. A fórmula da projeção é:
Vamos calcular os produtos internos:
proje1 u2 = u2 cdot e1e1 cdot e1 e1
u2 cdot e1 = (0)(1) + (1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Então,
e1 cdot e1 = (1)^2 + (0)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 1 + 0 + 1 + 1 = 3
Agora, ajustamos proje1 u2 = 13 (1, 0, -1, 1) = (13, 0, -13, 13) :
u2
Agora, e2 = u2 - proje1 u2 = (0, 1, 0, 1) - (13, 0, -13, 13) = (-13, 1, 13, 23) é ortogonal a e2.

Passo 5

Agora, vamos ajustar o terceiro vetor u3 para que ele seja ortogonal tanto a e1 quanto a e2. Primeiro, subtraímos as projeções de u3 em e1 e em e2:
Calculando:
proje1 u3 = u3 cdot e1e1 cdot e1 e1
u3 cdot e1 = (1)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) + (2)(1) = 1 + 0 + 1 + 2 = 4
Agora, a projeção em proje1 u3 = 43 (1, 0, -1, 1) = (43, 0, -43, 43) :
Calculando:
e2
proje2 u3 = u3 cdot e2e2 cdot e2 e2
u3 cdot e2 = (1)(-13) + (1)(1) + (-1)(13) + (2)(23) = -13 + 1 - 13 + 43 = 33 = 1
Finalmente, ajustamos e2 cdot e2 = (-13)^2 + (1)^2 + (13)^2 + (23)^2 = 19 + 1 + 19 + 49 = 149 :
proje2 u3 = 1149 (-13, 1, 13, 23) = 914 (-13, 1, 13, 23) = (-314, 914, 314, 614)
Fazendo as contas:
u3
Simplificando cada componente:
e3 = u3 - proje1 u3 - proje2 u3 = (1, 1, -1, 2) - (43, 0, -43, 43) - (-314, 914, 314, 614)
e3 = (1 - 43 + 314, , 1 - 0 - 914, , -1 + 43 - 314, , 2 - 43 - 614)
Podemos simplificar:
e3 = (1414 - 5642 + 942, , 1414 - 914, , -1414 + 2842 - 942, , 2814 - 5642 - 1842)
Agora, temos que e3 = (14 - 56 + 942, , 14 - 914, , -14 + 28 - 942, , 28 - 56 - 1842) = (-3342, 514, 542, -4642) , e3 = (-1114, 514, 542, -2321) e e1 são mutuamente ortogonais.

Resposta

A base ortogonal para o subespaço de R^4 gerado pelos vetores dados, em relação ao produto interno usual, é:
e1 = (1, 0, -1, 1) e2 = (-13, 1, 13, 23) e3 = (-1114, 514, 542, -2321)

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