Seja
. Verifique se
munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Vamos analisar o problema que nos pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial sobre o corpo
. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver, precisamos lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar uma a uma para o conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo
é um conjunto de vetores que, além de pertencer ao conjunto, satisfaz oito axiomas, como existência do vetor zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar, entre outros.
Passo 3
Vamos verificar se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Se colocarmos
em
, obtemos
, que está em
. Portanto,
contém o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Se tivermos dois vetores em
, digamos
e
, a soma deles será
. Claramente, isso também está na forma
, onde
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Se tivermos um vetor
em
e um escalar
, então a multiplicação por escalar é
. Isso também está na forma
, onde
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Exercícios relacionados
Sejam
. Determine
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortogonal para o subespaço do
gerado pelos vetores
e
.
a)
;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
b)
c)
d)
e)
Sejam
espaços vetoriais sobre
e
. Mostre que se
, então
, munido com as operaçães de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre e chama-se soma direta externa dos espaços
e denotamos por
.
é um espaço vetorial sobre