Seja . Verifique se munido com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre .

Passo 1

Vamos analisar o problema que nos pede para verificar se o conjunto é um espaço vetorial sobre o corpo . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver, precisamos lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar uma a uma para o conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo é um conjunto de vetores que, além de pertencer ao conjunto, satisfaz oito axiomas, como existência do vetor zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar, entre outros.

Passo 3

Vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Se colocarmos em , obtemos , que está em . Portanto, contém o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Se tivermos dois vetores em , digamos e , a soma deles será . Claramente, isso também está na forma , onde . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Se tivermos um vetor em e um escalar , então a multiplicação por escalar é . Isso também está na forma , onde . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um espaço vetorial sobre .

Exercícios relacionados

Sejam . Determine
(a)
(b)
©
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortogonal para o subespaço do gerado pelos vetores e .
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Sejam espaços vetoriais sobre e . Mostre que se , então , munido com as operaçães de adição
e multiplicação por escalar

é um espaço vetorial sobre e chama-se soma direta externa dos espaços e denotamos por .