Sejam u=(3,-4), v=(2,5). Determine
(a) u cdot v
(b) |u+v|
© (u+v) cdot(u-v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = (3, -4) e v = (2, 5). A questão pede para a gente calcular três coisas diferentes envolvendo esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra vetorial, como o produto escalar e a magnitude de um vetor. Vamos resolver passo a passo cada parte!

Passo 2

Parte (a): u cdot v
Primeiro, vamos calcular o produto escalar (ou dot product) entre u e v. O produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta em um número. A fórmula é:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy
Onde ux e uy são as componentes do vetor u, e vx e vy são as componentes do vetor v.
Aplicando os valores:
u cdot v = 3 cdot 2 + (-4) cdot 5 = 6 - 20 = -14

Passo 3

Parte (b): |u + v|
Agora, vamos encontrar a magnitude (ou comprimento) da soma dos vetores u e v. Primeiro, precisamos somar os vetores:
u + v = (3 + 2, -4 + 5) = (5, 1)
A magnitude de um vetor w = (wx, wy) é dada por:
|w| = raizwx^2 + wy^2
Aplicando para u + v = (5, 1):
|u + v| = raiz5^2 + 1^2 = raiz25 + 1 = raiz26 approx 5,10

Passo 4

Parte ©: (u + v) cdot (u - v)
Primeiro, vamos calcular u - v:
u - v = (3 - 2, -4 - 5) = (1, -9)
Agora, temos u + v = (5, 1) e u - v = (1, -9). Vamos calcular o produto escalar entre esses dois vetores:
(u + v) cdot (u - v) = 5 cdot 1 + 1 cdot (-9) = 5 - 9 = -4

Resposta

(a) u cdot v = -14
(b) |u + v| approx 5,10
© (u + v) cdot (u - v) = -4

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