Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier para x(t)=t para 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a representação trigonométrica da série de Fourier para a função no intervalo . Isso envolve entender um pouco sobre séries de Fourier, que são usadas para expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: o termo constante , os coeficientes dos cossenos e os coeficientes dos senos .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica x(t) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(npi tL) + bn sin(npi tL) ] com período x(t) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(nt) + bn sin(nt) ] é dada por:
No nosso caso, o período é , então . Portanto, a série fica:

Passo 3

Vamos calcular o termo a0 = 12pi integral-pi^pi x(t) , dt , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para a0 = 0 é:
Entretanto, como a função é ímpar em relação ao ponto , a média será zero devido à simetria. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral-pi^pi x(t) cos(nt) , dt dos cossenos. A fórmula para an = 0 para todo n é:
Mas novamente, como é uma função ímpar e é par, o produto será uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Logo:

Passo 5

Por fim, vamos calcular os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi x(t) sin(nt) , dt dos senos. A fórmula para bn = 2pi integral0^pi t sin(nt) , dt é:
Como e são ambas funções ímpares, o produto será função par. Portanto, podemos simplificar a integral para:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral0^pi t sin(nt) , dt
Usando integração por partes, onde integral t sin(nt) , dt = -tn cos(nt) + 1n integral cos(nt) , dt = -tn cos(nt) + 1n^2 sin(nt) e [ -pin cos(npi) + 1n^2 sin(npi) ] - [ 0 + 0 ] = -pin cos(npi) , temos integral0^pi t sin(nt) , dt = -pin (-1)^n = pin (-1)^n+1 e . Aplicando:
Avaliado de 0 a :
Sabendo que , temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de bn = 2pi cdot pin (-1)^n+1 = 2 (-1)^n+1n :

Passo 8

Agora, juntando tudo, a série de Fourier para x(t) = sumn=1^infty 2 (-1)^n+1n sin(nt) no intervalo é:

Resposta

A representação trigonométrica da série de Fourier para x(t) = sumn=1^infty 2 (-1)^n+1n sin(nt) no intervalo é:

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