Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier para
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a representação trigonométrica da série de Fourier para a função
no intervalo
. Isso envolve entender um pouco sobre séries de Fourier, que são usadas para expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: o termo constante
, os coeficientes dos cossenos
e os coeficientes dos senos
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica
com período
é dada por:
No nosso caso, o período é
, então
. Portanto, a série fica:
Passo 3
Vamos calcular o termo
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Entretanto, como a função
é ímpar em relação ao ponto
, a média
será zero devido à simetria. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
dos cossenos. A fórmula para
é:
Mas novamente, como
é uma função ímpar e
é par, o produto
será uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Logo:
Passo 5
Por fim, vamos calcular os coeficientes
dos senos. A fórmula para
é:
Como
e
são ambas funções ímpares, o produto
será função par. Portanto, podemos simplificar a integral para:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde
e
, temos
e
. Aplicando:
Avaliado de 0 a
:
Sabendo que
, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 8
Agora, juntando tudo, a série de Fourier para
no intervalo
é:
Resposta
A representação trigonométrica da série de Fourier para
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Dados
e
, determine
quando:
d)
d)
Dados
e
, determine
quando:
c)
c)
Determinar os coeficientes e a série de Fourier para sinal continuo com representação exponencial do seguinte sinal:
Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier do sinal: