Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier para para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a representação trigonométrica da série de Fourier para a função no intervalo . Isso envolve entender um pouco sobre séries de Fourier, que são usadas para expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: o termo constante , os coeficientes dos cossenos e os coeficientes dos senos .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica com período é dada por:
No nosso caso, o período é , então . Portanto, a série fica:

Passo 3

Vamos calcular o termo , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Entretanto, como a função é ímpar em relação ao ponto , a média será zero devido à simetria. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes dos cossenos. A fórmula para é:
Mas novamente, como é uma função ímpar e é par, o produto será uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Logo:

Passo 5

Por fim, vamos calcular os coeficientes dos senos. A fórmula para é:
Como e são ambas funções ímpares, o produto será função par. Portanto, podemos simplificar a integral para:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde e , temos e . Aplicando:
Avaliado de 0 a :
Sabendo que , temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Agora, juntando tudo, a série de Fourier para no intervalo é:

Resposta

A representação trigonométrica da série de Fourier para no intervalo é:

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Dados e , determine quando:
d)
Dados e , determine quando:
c)
Determinar os coeficientes e a série de Fourier para sinal continuo com representação exponencial do seguinte sinal:
Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier do sinal: