Determinar os coeficientes e a série de Fourier para sinal continuo com representação exponencial do seguinte sinal:
x(t)=sen(3 t+pi / 5)+3 cdot cos (2 t+pi / 2)+4

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O enunciado pede para encontrar os coeficientes e a série de Fourier na forma exponencial para o sinal contínuo:
x(t) = sin(3t + pi5) + 3 cdot cos(2t + pi2) + 4
Aqui, estamos lidando com séries de Fourier, que são usadas para representar sinais periódicos como uma soma de funções exponenciais (ou senos e cossenos). Para resolver isso, vamos precisar saber como converter funções trigonométricas em exponenciais e identificar os coeficientes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função seno ou cosseno pode ser expressa usando exponenciais complexas através da fórmula de Euler:
e^jtheta = cos(theta) + jsin(theta),
onde sin(omega t + phi) = e^j(omega t + phi) - e^-j(omega t + phi)2j, é a unidade imaginária. Isso significa que podemos reescrever seno e cosseno da seguinte forma:
cos(omega t + phi) = e^j(omega t + phi) + e^-j(omega t + phi)2
Vamos usar isso para transformar cada termo do nosso sinal em exponenciais.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: sin(3t + pi5) = e^j(3t + pi5) - e^-j(3t + pi5)2j .
Aplicando a fórmula de conversão para exponenciais:

Passo 4

Agora, o segundo termo: 3 cdot cos(2t + pi2) = 3 cdot e^j(2t + pi2) + e^-j(2t + pi2)2 .
Aplicando a fórmula de conversão para exponenciais:

Passo 5

O último termo é uma constante: . Em termos de série de Fourier exponencial, essa constante é representada pelo coeficiente , que é simplesmente igual a 4.

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos:
x(t) = e^j(3t + pi5) - e^-j(3t + pi5)2j + 32(e^j(2t + pi2) + e^-j(2t + pi2)) + 4
Esta é a representação da série de Fourier exponencial para o sinal .

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier exponencial para o sinal c0 = 4, são:
c2 = 32 e^jpi2,
c-2 = 32 e^-jpi2,
c3 = 12j e^jpi5,
c-3 = -12j e^-jpi5
x(t) = 4 + 32 e^j(2t + pi2) + 32 e^-j(2t + pi2) + 12j e^j(3t + pi5) - 12j e^-j(3t + pi5)
Portanto, a série de Fourier exponencial para fica:

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