Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier do sinal:
x(t)=lcc t, & para -pi <= t<0 2, & para 0 <= t <= pi

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a representação trigonométrica da série de Fourier de um sinal . A função é definida de forma diferente em dois intervalos: de a , ela é igual a , e de a , ela é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a série de Fourier para uma função periódica x(t) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nt) + bn sin(nt) ] no intervalo a é dada por:
Onde:
  • é o termo constante,
  • são os coeficientes dos cossenos,
  • são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Vamos começar calculando o termo a0 = 1pi integral-pi^pi x(t) , dt , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para a0 = 1pi ( integral-pi^0 t , dt + integral0^pi 2 , dt ) é:
integral t , dt = t^22 |-pi^0 = 0 - (-pi)^22 = -pi^22
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida de forma diferente:
integral 2 , dt = 2t |0^pi = 2pi - 0 = 2pi
Calculando cada parte:
Para a0 = 1pi ( -pi^22 + 2pi ) = 1pi ( 2pi - pi^22 ) = 2 - pi2 :
Para :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral-pi^pi x(t) cos(nt) , dt . A fórmula para an = 1pi ( integral-pi^0 t cos(nt) , dt + integral0^pi 2 cos(nt) , dt ) é:
u = t Rightarrow du = dt
Novamente, dividimos a integral:
dv = cos(nt) , dt Rightarrow v = sin(nt)n
Vamos calcular cada integral separadamente.
Para integral t cos(nt) , dt = t cdot sin(nt)n - integral sin(nt)n , dt = t sin(nt)n + cos(nt)n^2 + C , usamos integração por partes:
[ t sin(nt)n + cos(nt)n^2 ]-pi^0 = ( 0 + 1n^2 ) - ( (-pi) sin(-npi)n + cos(-npi)n^2 )
1n^2 - ( 0 + (-1)^nn^2 ) = 1 - (-1)^nn^2
Então,
integral 2 cos(nt) , dt = 2 cdot sin(nt)n |0^pi = 2 ( sin(npi)n - 0 ) = 2 sin(npi)n
Aplicando os limites de an = 1pi cdot 1 - (-1)^nn^2 a :
Sabendo que e , temos:
Para :
Como , essa parte será zero.
Então, o coeficiente fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi x(t) sin(nt) , dt . A fórmula para bn = 1pi ( integral-pi^0 t sin(nt) , dt + integral0^pi 2 sin(nt) , dt ) é:
u = t Rightarrow du = dt
Dividindo a integral:
dv = sin(nt) , dt Rightarrow v = -cos(nt)n
Primeiro, para integral t sin(nt) , dt = -t cos(nt)n + 1n integral cos(nt) , dt = -t cos(nt)n + sin(nt)n^2 + C , usamos integração por partes:
[ -t cos(nt)n + sin(nt)n^2 ]-pi^0 = ( 0 + 0 ) - ( pi cos(-npi)n + sin(-npi)n^2 )
- ( pi (-1)^nn + 0 ) = -pi (-1)^nn
Então,
integral 2 sin(nt) , dt = -2 cdot cos(nt)n |0^pi = -2 ( cos(npi)n - 1n ) = -2 cdot (-1)^n - 1n
Aplicando os limites de bn = 1pi ( -pi (-1)^nn - 2 cdot (-1)^n - 1n ) = -(-1)^nn - 2((-1)^n - 1)pi n a bn = -(-1)^nn (1 + 2pi) + 2pi n :
Sabendo que e , temos:
Para :
Então, o coeficiente fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier completa:
x(t) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nt) + bn sin(nt) ]
Substituindo x(t) = (1 - pi4) + sumn=1^infty [ 1 - (-1)^npi n^2 cos(nt) + ( -(-1)^nn (1 + 2pi) + 2pi n ) sin(nt) ] , e que calculamos:

Resposta

A representação trigonométrica da série de Fourier do sinal x(t) = (1 - pi4) + sumn=1^infty [ 1 - (-1)^npi n^2 cos(nt) + ( -(-1)^nn (1 + 2pi) + 2pi n ) sin(nt) ] é:

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