Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier do sinal:
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a representação trigonométrica da série de Fourier de um sinal . A função é definida de forma diferente em dois intervalos: de a , ela é igual a , e de a , ela é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a série de Fourier para uma função periódica no intervalo a é dada por:
Onde:
é o termo constante,
são os coeficientes dos cossenos,
são os coeficientes dos senos.
Passo 3
Vamos começar calculando o termo , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida de forma diferente:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral-pi^pi x(t) cos(nt) , dt . A fórmula para an = 1pi ( integral-pi^0 t cos(nt) , dt + integral0^pi 2 cos(nt) , dt ) é:
u = t Rightarrow du = dt
Novamente, dividimos a integral:
dv = cos(nt) , dt Rightarrow v = sin(nt)n
Vamos calcular cada integral separadamente.
Para integral t cos(nt) , dt = t cdot sin(nt)n - integral sin(nt)n , dt = t sin(nt)n + cos(nt)n^2 + C , usamos integração por partes: