Determinar a representaçâo trigonométrica da série de Fourier do sinal:

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a representação trigonométrica da série de Fourier de um sinal . A função é definida de forma diferente em dois intervalos: de a , ela é igual a , e de a , ela é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a série de Fourier para uma função periódica no intervalo a é dada por:
Onde:
  • é o termo constante,
  • são os coeficientes dos cossenos,
  • são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Vamos começar calculando o termo , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida de forma diferente:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Novamente, dividimos a integral:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Para , usamos integração por partes:
Então,
Aplicando os limites de a :
Sabendo que e , temos:
Para :
Como , essa parte será zero.
Então, o coeficiente fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Dividindo a integral:
Primeiro, para , usamos integração por partes:
Então,
Aplicando os limites de a :
Sabendo que e , temos:
Para :
Então, o coeficiente fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier completa:
Substituindo , e que calculamos:

Resposta

A representação trigonométrica da série de Fourier do sinal é:

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