(a) determinar a resistência do cilindro em termos de L, rho, ra e rb;
(b) calcule a densidade de corrente no cilindro quando V é aplicada;
© calcule o campo elétrico no interior do cilindro;
(d) suponha agora que a diferencia de potencial é aplicada entre as superfícies interna e externa, de modo que a corrente flui radialmente para fora. Calcule a nova resistência do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular várias coisas sobre a resistência de um cilindro com duas superfícies concêntricas (uma interna com raio $ r_a $ e outra externa com raio $ r_b $), sabendo o comprimento $ L $ e a resistividade $ \rho $. A gente vai precisar usar conceitos de resistência elétrica em cilindros, densidade de corrente e campo elétrico. Bora lá!

Passo 2

Parte (a): Determinar a resistência do cilindro em termos de $ L $, $ \rho $, $ r_a $ e $ r_b $.
Primeiro, vamos lembrar que a resistência $ R $ de um material depende da resistividade $ \rho $, do comprimento $ L $ e da área da seção transversal $ A $. A fórmula básica é:
L
Mas no nosso caso, temos um cilindro com duas superfícies concêntricas, então a área pela qual a corrente passa não é uma simples seção transversal. A corrente está fluindo ao longo do comprimento do cilindro, distribuída entre as duas superfícies.
Para um cilindro, a área de superfície das duas camadas é:
rho
Como temos duas camadas, uma interna e outra externa, precisamos considerar a resistência de cada camada e depois combiná-las, já que a corrente pode fluir por ambas simultaneamente.
Entretanto, para simplificar, podemos considerar a resistência total como a resistividade multiplicada pelo comprimento dividido pela área média:
ra
Mas essa abordagem é simplificada. A forma correta para a resistência entre duas superfícies concêntricas é:
rb
Isso leva em conta a variação radial da resistência.

Passo 3

Parte (b): Calcule a densidade de corrente no cilindro quando $ V $ é aplicada.
A densidade de corrente $ \vec{J} $ é a corrente por unidade de área. Ela está relacionada ao campo elétrico $ \vec{E} $ pela lei de Ohm:
V
Primeiro, precisamos encontrar a corrente total $ I $. Usando a resistência que calculamos na parte (a):
J
Agora, a densidade de corrente $ J $ é a corrente dividida pela área:
E
Então, a densidade de corrente depende inversamente do raio $ r $.

Passo 4

Parte ©: Calcule o campo elétrico no interior do cilindro.
Como vimos na parte (b), a densidade de corrente $ J $ está relacionada ao campo elétrico $ E $ por:
J
Usando a expressão da densidade de corrente que encontramos:
E
Então, o campo elétrico dentro do cilindro varia inversamente com o raio $ r $.

Passo 5

Parte (d): Suponha agora que a diferença de potencial é aplicada entre as superfícies interna e externa, de modo que a corrente flui radialmente para fora. Calcule a nova resistência do cilindro.
Agora, a corrente está fluindo radialmente, ou seja, perpendicular às superfícies concêntricas. A resistência para fluxo radial em um cilindro é diferente da resistência para fluxo longitudinal.
A resistência radial $ R $ pode ser calculada integrando a resistência de camadas concêntricas infinitesimais. A fórmula é:
R
Isso leva em conta que a área efetiva para o fluxo radial varia com o raio.

Resposta

(a) A resistência do cilindro é $ R = \frac{\rho}{2\pi L} \ln\left(\frac{r_b}{r_a}\right) $.
(b) A densidade de corrente no cilindro é $ J = \frac{V}{\rho r \ln\left(\frac{r_b}{r_a}\right)} $.
© O campo elétrico no interior do cilindro é $ E = \frac{V}{r \ln\left(\frac{r_b}{r_a}\right)} $.
(d) A nova resistência do cilindro, com corrente fluindo radialmente, é $ R = \frac{\rho}{2\pi L} \left( \frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b} \right ) $.

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