psi(x)=raizapi(x^2+a^2)
para a>0 e-infty. Determine a probabilidade de a partícula ser localizada em algum ponto entre x=-a e x=+a. Resposta: P=1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a probabilidade de uma partícula estar localizada entre e , dado que a função de onda é . Estamos lidando com conceitos de mecânica quântica, especificamente com a função de onda e probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender que a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa região é obtida integrando o quadrado da função de onda sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade P = integralx1^x2 |psi(x)|^2 , dx de encontrar a partícula entre dois pontos e é dada pela integral do quadrado da função de onda de a :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular psi(x) = raizapi(x^2+a^2) . A função de onda dada é:
|psi(x)|^2 = ( raizapi(x^2+a^2) )^2 = api(x^2+a^2)
Então, elevando ao quadrado:

Passo 4

Agora, substituímos P = integral-a^a api(x^2+a^2) , dx na integral para encontrar a probabilidade:

Passo 5

Para resolver essa integral, reconhecemos que a integral de integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1( xa ) + C é conhecida. A antiderivada é:

Passo 6

Aplicando isso à nossa integral:
P = api [ 1a tan^-1( xa ) ]-a^a = 1pi [ tan^-1( aa ) - tan^-1( -aa ) ]
Sabemos que e .

Passo 7

Calculando os valores:
P = 1pi ( pi4 - ( -pi4 ) ) = 1pi ( pi4 + pi4 ) = 1pi ( pi2 ) = 12

Resposta

A probabilidade de a partícula estar entre e é .

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