(a) Qual é equação matemática que descreve o comportamento teórico da diferença de potencial (ddp) no capacitor no processo de carga, isto é
;
(b) qual é equação do comportamento da corrente elétrica
para este caso;
© escreva a equação da ddp no resistor,
em que instante de tempo a ddp no capacitor será igual à ddp no resistor?
(b) qual é equação do comportamento da corrente elétrica
© escreva a equação da ddp no resistor,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de circuitos elétricos, especificamente do comportamento de um capacitor durante o processo de carga em um circuito RC (resistor-capacitor). Para resolvermos isso, vamos precisar entender as leis básicas dos circuitos elétricos, especialmente a Lei de Ohm e as equações que descrevem o carregamento de um capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RC simples, composto por uma fonte de tensão $ V $, um resistor $ R $ e um capacitor $ C $, a diferença de potencial no capacitor $ V_C(t) $ durante o carregamento varia com o tempo. A equação que descreve esse comportamento é uma função exponencial que se aproxima de $ V $ à medida que o tempo passa.
A equação é:
Aqui, $ e $ é a base do logaritmo natural, $ t $ é o tempo, $ R $ é a resistência e $ C $ é a capacitância do capacitor.
Passo 3
Agora, vamos determinar a corrente elétrica $ I(t) $ no circuito durante o carregamento do capacitor. A corrente também varia com o tempo e é relacionada à taxa de variação da carga no capacitor. A equação para a corrente é:
Essa equação mostra que a corrente decai exponencialmente à medida que o capacitor se carrega.
Passo 4
Por fim, vamos escrever a equação da diferença de potencial no resistor $ V_R(t) $. De acordo com a Lei de Ohm, a tensão no resistor é igual à corrente multiplicada pela resistência:
Substituindo a expressão de $ I(t) $ que encontramos no passo anterior:
Passo 5
Vamos agora determinar em que instante de tempo a diferença de potencial no capacitor será igual à diferença de potencial no resistor, ou seja, $ V_C(t) = V_R(t) $. Equacionando as duas expressões:
Dividindo ambos os lados por $ V $:
Somando $ e^{-\frac{t}{RC}} $ aos dois lados:
Dividindo por 2:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Simplificando:
Resposta
(a) $ V_C(t) = V \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) $
(b) $ I(t) = \frac{V}{R} e^{-\frac{t}{RC}} $
© $ V_R(t) = V e^{-\frac{t}{RC}} $ e a ddp no capacitor será igual à ddp no resistor no instante $ t = RC \ln(2) $