para
e zero em outras condições. (a) Determine o valor esperado de
. (b) Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada próxima de
, calculando a probabilidade de ela estar posicionada na faixa de
. © E se? Determine a probabilidade de encontrarmos a partícula próxima de
, calculando a probabilidade de ela estar posicionada na faixa de
. (d) Discuta o fato de que o resultado da parte (a) não contradiz os das partes (b) e ©. Resposta a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! O enunciado nos dá uma função de onda
para uma partícula confinada entre
e
. Vamos precisar entender conceitos como valor esperado (ou expectativa) de posição e probabilidade de encontrar a partícula em certas regiões. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Determinar o valor esperado de
.
Primeiro, o valor esperado
nos dá a média de onde esperaríamos encontrar a partícula. Matematicamente, é calculado usando a integral:
Como
é diferente de zero apenas entre
e
, a integral fica:
Simplificando a função:
Então:
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Usando a identidade trigonométrica
:
Dividindo a integral:
Calculando a primeira integral:
Para a segunda integral, usamos integração por partes onde
e
. Após resolver, obtemos que essa parte se anula devido às condições de limite.
Então:
Passo 4
Parte (b): Determinar a probabilidade de a partícula estar na faixa
.
A probabilidade
de encontrar a partícula em um intervalo
é dada por:
Para nosso caso:
Usando novamente a identidade
:
Calculando a integral:
Substituindo os limites e simplificando, obtemos:
Passo 5
Parte ©: Determinar a probabilidade de a partícula estar na faixa
.
Usamos o mesmo raciocínio da parte (b):
Aplicando a identidade trigonométrica e resolvendo a integral:
Passo 6
Parte (d): Discutir como o resultado da parte (a) não contradiz os das partes (b) e ©.
Na parte (a), encontramos que o valor esperado
é
, ou seja,
. Isso significa que, em média, esperamos encontrar a partícula no meio do intervalo.
Porém, as partes (b) e © tratam de probabilidades específicas em intervalos distintos:
- A parte (b) mostra uma probabilidade muito baixa de encontrar a partícula perto de
, enquanto a parte © mostra uma probabilidade significativamente maior de encontrá-la próxima a .
Isso pode parecer contraditório à primeira vista, mas na verdade, o valor esperado é uma média ponderada das posições onde a partícula pode estar. Mesmo que a partícula tenha maior probabilidade de estar em certas regiões (
no caso), o valor esperado considera todas as possíveis posições e suas probabilidades, resultando em
. Portanto, não há contradição entre os resultados.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)