psi2(x)=raiz2L sin (2 pi xL)
para 0 <= x <= L e zero em outras condições. (a) Determine o valor esperado de x. (b) Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada próxima de 12 L, calculando a probabilidade de ela estar posicionada na faixa de 0,490 L <= x <= 0,510 L. © E se? Determine a probabilidade de encontrarmos a partícula próxima de 14 L, calculando a probabilidade de ela estar posicionada na faixa de 0,240 L <= x <= 0,260 L. (d) Discuta o fato de que o resultado da parte (a) não contradiz os das partes (b) e ©. Resposta a) lang<= xrang<==1 / 2 b) P=5,26 times 10^-5 c) P=3,99 times 10^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! O enunciado nos dá uma função de onda para uma partícula confinada entre e . Vamos precisar entender conceitos como valor esperado (ou expectativa) de posição e probabilidade de encontrar a partícula em certas regiões. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Determinar o valor esperado de lang<= x rang<= = integral-infty^infty x |psi(x)|^2 dx .
Primeiro, o valor esperado lang<= x rang<= = integral0^L x (raiz2L sin(2pi xL))^2 dx nos dá a média de onde esperaríamos encontrar a partícula. Matematicamente, é calculado usando a integral:
|psi2(x)|^2 = 2L sin^2(2pi xL)
Como lang<= x rang<= = 2L integral0^L x sin^2(2pi xL) dx é diferente de zero apenas entre e , a integral fica:
Simplificando a função:
Então:

Passo 3

Vamos resolver a integral:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L x sin^2(2pi xL) dx
Usando a identidade trigonométrica lang<= x rang<= = 2L integral0^L x (1 - cos(4pi xL)2) dx = 1L integral0^L x (1 - cos(4pi xL)) dx :
lang<= x rang<= = 1L [ integral0^L x dx - integral0^L x cos(4pi xL) dx ]
Dividindo a integral:
integral0^L x dx = L^22
Calculando a primeira integral:
lang<= x rang<= = 1L cdot L^22 = L2 cdot 1L = 12
Para a segunda integral, usamos integração por partes onde e . Após resolver, obtemos que essa parte se anula devido às condições de limite.
Então:

Passo 4

Parte (b): Determinar a probabilidade de a partícula estar na faixa P = integrala^b |psi(x)|^2 dx .
A probabilidade P = integral0,490 L^0,510 L 2L sin^2(2pi xL) dx de encontrar a partícula em um intervalo P = 2L cdot 12 integral0,490 L^0,510 L (1 - cos(4pi xL)) dx = 1L integral0,490 L^0,510 L (1 - cos(4pi xL)) dx é dada por:
P = 1L [ (x) - L4pi sin(4pi xL) ]0,490 L^0,510 L
Para nosso caso:
P approx 5,26 times 10^-5
Usando novamente a identidade :
Calculando a integral:
Substituindo os limites e simplificando, obtemos:

Passo 5

Parte ©: Determinar a probabilidade de a partícula estar na faixa P = integral0,240 L^0,260 L 2L sin^2(2pi xL) dx .
Usamos o mesmo raciocínio da parte (b):
P approx 3,99 times 10^-2
Aplicando a identidade trigonométrica e resolvendo a integral:

Passo 6

Parte (d): Discutir como o resultado da parte (a) não contradiz os das partes (b) e ©.
Na parte (a), encontramos que o valor esperado é , ou seja, . Isso significa que, em média, esperamos encontrar a partícula no meio do intervalo.
Porém, as partes (b) e © tratam de probabilidades específicas em intervalos distintos:
  • A parte (b) mostra uma probabilidade muito baixa de encontrar a partícula perto de , enquanto a parte © mostra uma probabilidade significativamente maior de encontrá-la próxima a .
Isso pode parecer contraditório à primeira vista, mas na verdade, o valor esperado é uma média ponderada das posições onde a partícula pode estar. Mesmo que a partícula tenha maior probabilidade de estar em certas regiões ( no caso), o valor esperado considera todas as possíveis posições e suas probabilidades, resultando em . Portanto, não há contradição entre os resultados.

Resposta

a)
b)
c)

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