Prove que os pontos A=(a, b+c), B=(b, a+c) e C=(c, a+b) são colineares e determinar a equação geral da reta que os contem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema está pedindo para a gente provar que os pontos , e estão na mesma reta, ou seja, são colineares. Além disso, precisamos descobrir qual é a equação dessa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente o critério de colinearidade de três pontos e como encontrar a equação de uma reta a partir de pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como verificar se três pontos são colineares. Uma maneira fácil de fazer isso é usar o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos. Se o determinante for zero, os pontos estão na mesma reta.
A matriz que vamos montar é:
x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1 x3 & y3 & 1 = 0
Onde , e são as coordenadas dos pontos.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos pontos a & b + c & 1 b & a + c & 1 c & a + b & 1 = 0 , a cdot a + c & 1 a + b & 1 - (b + c) cdot b & 1 c & 1 + 1 cdot b & a + c c & a + b = 0 e a + c & 1 a + b & 1 = (a + c)(1) - (a + b)(1) = a + c - a - b = c - b :
b & 1 c & 1 = b cdot 1 - c cdot 1 = b - c
Agora, vamos calcular esse determinante:
b & a + c c & a + b = b(a + b) - c(a + c) = ab + b^2 - ac - c^2
Calculando cada menor:
  1. a(c - b) - (b + c)(b - c) + (ab + b^2 - ac - c^2) = 0
  2. a(c - b) = ac - ab
  3. - (b + c)(b - c) = - (b^2 - c^2)
Substituindo de volta:
ab + b^2 - ac - c^2 = ab + b^2 - ac - c^2
Simplificando cada termo:
(ac - ab) - (b^2 - c^2) + (ab + b^2 - ac - c^2) = 0
ac - ab - b^2 + c^2 + ab + b^2 - ac - c^2 = 0
0 = 0
Então temos:
Agora, simplificando:
Todos os termos se cancelam:
Isso mostra que a condição é satisfeita, ou seja, os pontos são colineares.

Passo 4

Agora que provamos que os pontos são colineares, vamos encontrar a equação geral da reta que os contém. Para isso, podemos usar a equação da reta na forma geral:
Ax + By + C = 0
Vamos usar dois dos pontos para determinar os coeficientes m = y2 - y1x2 - x1 = (a + c) - (b + c)b - a = a - bb - a = -1 , y = -x + n e b + c = -a + n Rightarrow n = a + b + c . Vamos usar os pontos y = -x + a + b + c e x + y - (a + b + c) = 0 .
Primeiro, calculamos a inclinação da reta usando a fórmula da inclinação entre dois pontos:
Então, a inclinação . Sabendo disso, podemos usar a forma da equação da reta . Vamos substituir :
Para encontrar , usamos um dos pontos, por exemplo, o ponto :
Então, a equação da reta fica:
Para colocar na forma geral, rearranjamos:

Resposta

Os pontos x + y - (a + b + c) = 0 , e são colineares e a equação geral da reta que os contém é:

Exercícios relacionados