Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se a seguinte integral imprópria existe e se ela converge:
Estamos lidando com integrais impróprias aqui, que aparecem quando a função que estamos integrando não está bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função pode apresentar problemas e como lidar com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções: e . Portanto, a função não está definida nesses pontos.

Passo 3

Como estamos integrando de 0 a 2 e a função não está definida exatamente em 0 e 2, a integral é considerada imprópria nesses limites. Para lidar com isso, precisamos reescrever a integral como um limite, dividindo-a em duas partes onde a função está bem definida. Vamos escolher um ponto intermediário, por exemplo, , para separar a integral:
Aqui, se aproxima de 0 por valores positivos e se aproxima de 2 por valores menores que 2.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral indefinida . Para isso, usaremos a fração parcial, que é uma técnica para decompor funções racionais em somas mais simples que são mais fáceis de integrar.
Primeiro, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos agora aplicar os limites que estabelecemos:
  1. Para a parte de a 1:
Simplificando:
  1. Para a parte de 1 a :
Simplificando:

Resposta

Como ambas as partes da integral tendem a menos infinito, a integral imprópria não existe, ou seja, ela não converge.

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