Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se a seguinte integral imprópria existe e se ela converge:
Estamos lidando com integrais impróprias aqui, que aparecem quando a função que estamos integrando não está bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função
pode apresentar problemas e como lidar com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função
não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções:
e
. Portanto, a função não está definida nesses pontos.
Passo 3
Como estamos integrando de 0 a 2 e a função não está definida exatamente em 0 e 2, a integral é considerada imprópria nesses limites. Para lidar com isso, precisamos reescrever a integral como um limite, dividindo-a em duas partes onde a função está bem definida. Vamos escolher um ponto intermediário, por exemplo,
, para separar a integral:
Aqui,
se aproxima de 0 por valores positivos e
se aproxima de 2 por valores menores que 2.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral indefinida
. Para isso, usaremos a fração parcial, que é uma técnica para decompor funções racionais em somas mais simples que são mais fáceis de integrar.
Primeiro, escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos agora aplicar os limites que estabelecemos:
- Para a parte de
a 1:
Simplificando:
- Para a parte de 1 a
:
Simplificando:
Resposta
Como ambas as partes da integral tendem a menos infinito, a integral imprópria não existe, ou seja, ela não converge.
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