Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
integral0^2 1x^2-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se a seguinte integral imprópria existe e se ela converge:
integral0^2 1x^2-2x , dx
Estamos lidando com integrais impróprias aqui, que aparecem quando a função que estamos integrando não está bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função pode apresentar problemas e como lidar com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função x^2 - 2x = 0 não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver a equação:
x(x - 2) = 0
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções: e . Portanto, a função não está definida nesses pontos.

Passo 3

Como estamos integrando de 0 a 2 e a função não está definida exatamente em 0 e 2, a integral é considerada imprópria nesses limites. Para lidar com isso, precisamos reescrever a integral como um limite, dividindo-a em duas partes onde a função está bem definida. Vamos escolher um ponto intermediário, por exemplo, integral0^2 1x^2-2x , dx = lima to 0^+ integrala^1 1x(x - 2) , dx + limb to 2^- integral1^b 1x(x - 2) , dx , para separar a integral:
Aqui, se aproxima de 0 por valores positivos e se aproxima de 2 por valores menores que 2.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral indefinida 1x(x - 2) = Ax + Bx - 2 . Para isso, usaremos a fração parcial, que é uma técnica para decompor funções racionais em somas mais simples que são mais fáceis de integrar.
Primeiro, escrevemos:
1 = A(x - 2) + Bx
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(0 - 2) Rightarrow 1 = -2A Rightarrow A = -12 para eliminar os denominadores:
1 = B cdot 2 Rightarrow B = 12
Agora, escolhemos valores de 1x(x - 2) = -12x + 12(x - 2) que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1x(x - 2) , dx = integral ( -12x + 12(x - 2) ) , dx = -12 ln|x| + 12 ln|x - 2| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos agora aplicar os limites que estabelecemos:
  1. Para a parte de lima to 0^+ [ -12 ln|1| + 12 ln|1 - 2| - ( -12 ln|a| + 12 ln|a - 2| ) ) a 1:
lima to 0^+ [ 0 + 12 ln(1) - ( -12 ln(a) + 12 ln(2) ) ) = lima to 0^+ ( 12 ln(a) ) = -infty
Simplificando:
limb to 2^- [ -12 ln|b| + 12 ln|b - 2| - ( -12 ln|1| + 12 ln|1 - 2| ) )
  1. Para a parte de 1 a limb to 2^- [ -12 ln(b) + 12 ln(2 - b) - ( 0 + 12 ln(1) ) ) = limb to 2^- ( -12 ln(b) + 12 ln(2 - b) ) = -infty :
Simplificando:

Resposta

Como ambas as partes da integral tendem a menos infinito, a integral imprópria não existe, ou seja, ela não converge.

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