Resolver as seguintes integrais:
DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo aqui é Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica para simplificar integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração original em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, identificamos que o denominador
é produto de dois fatores lineares distintos. Isso significa que podemos expressar a fração
como a soma de duas frações simples:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação. Como o lado direito deve ser igual a 1 (que é uma constante), temos:
Passo 5
Resolvemos o sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Substituímos
na segunda equação:
- Então,
Passo 6
Substituímos
e
na decomposição original:
Passo 7
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que
, onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a regra da integral:
Podemos simplificar combinando os logaritmos: