Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

integral dx(x-3)(x+2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo aqui é Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica para simplificar integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração original em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, identificamos que o denominador 1(x - 3)(x + 2) = Ax - 3 + Bx + 2 é produto de dois fatores lineares distintos. Isso significa que podemos expressar a fração como a soma de duas frações simples:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 1 = A(x + 2) + B(x - 3) e 1 = (A + B)x + (2A - 3B) , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos e agrupamos os termos:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação. Como o lado direito deve ser igual a 1 (que é uma constante), temos:
A + B = 0 (coeficiente de x)
2A - 3B = 1 (termo constante)

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 2(-B) - 3B = 1 Rightarrow -2B - 3B = 1 Rightarrow -5B = 1 Rightarrow B = -15
  2. Substituímos na segunda equação:
  1. Então,

Passo 6

Substituímos 1(x - 3)(x + 2) = 15x - 3 + -15x + 2 = 15(1x - 3 - 1x + 2) e na decomposição original:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral dx(x - 3)(x + 2) = 15 integral dxx - 3 - 15 integral dxx + 2
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra da integral:
15 ln|x - 3| - 15 ln|x + 2| + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
15 ln|x - 3x + 2| + C

Resposta

integral dx(x - 3)(x + 2) = 15 ln|x - 3x + 2| + C

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