Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo aqui é Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica para simplificar integrais de funções racionais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração original em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, identificamos que o denominador é produto de dois fatores lineares distintos. Isso significa que podemos expressar a fração como a soma de duas frações simples:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos e agrupamos os termos:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação. Como o lado direito deve ser igual a 1 (que é uma constante), temos:

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituímos na segunda equação:
  1. Então,

Passo 6

Substituímos e na decomposição original:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra da integral:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:

Resposta

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SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.
Determine de modo que e sejam ortogonais, onde:
a) .