Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

integral 7 x^3 dx(4 x^2+9)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso aqui envolve substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões quadráticas no denominador. Vamos precisar usar essa técnica para simplificar a integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar o denominador. Observamos que temos u = 2x (porque (4x^2 = (2x)^2)) , que se assemelha à forma . Vamos definir:
Então, ou .

Passo 3

Substituindo integral 7x^3 , dx(4x^2+9)^3/2 = integral 7(u2)^3 cdot du2(u^2 + 9)^3/2 na integral, temos:
= integral 7 cdot u^38 cdot 12 , du(u^2 + 9)^3/2 = 716 integral u^3 , du(u^2 + 9)^3/2
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a integral integral u cdot (u^2 + 9 - 9)(u^2 + 9)^3/2 , du = integral u(u^2 + 9)(u^2 + 9)^3/2 , du - 9 integral u(u^2 + 9)^3/2 , du . Podemos dividir integral u , du(u^2 + 9)^1/2 - 9 integral u , du(u^2 + 9)^3/2 em e reescrever a integral como:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Para a primeira:
integral u , du(u^2 + 9)^1/2 = (u^2 + 9)^1/2 + C
Para a segunda:
integral u , du(u^2 + 9)^3/2 = -1(u^2 + 9)^1/2 + C

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão original:
716 [ (u^2 + 9)^1/2 - 9 (-1(u^2 + 9)^1/2) ] + C = 716 ( raizu^2 + 9 + 9raizu^2 + 9 ) + C

Passo 7

Lembrando que 716 ( raiz4x^2 + 9 + 9raiz4x^2 + 9 ) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral vale:
716 ( raiz4x^2 + 9 + 9raiz4x^2 + 9 ) + C

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