Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Mostrar que a integral abaixo converge:
integral0^1 1raizsen x dx
[Sugestão: Obter alguma cota inferior para sen x em termos de cx, para alguma constante c.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral imprópria que precisa determinar se existe e se ela converge:
integral0^1 1raizsin x , dx
Estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa função com outra mais simples para facilitar a análise da convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de sin x perto de x = 0. Sabemos que, para valores de x bem pequenos, sin x é aproximadamente igual a x. Mais formalmente, existe uma constante positiva c tal que:
sin x >= c x para 0 < x <= 1
Isso nos ajuda a encontrar uma cota inferior para sin x, o que é crucial para a comparação.

Passo 3

Agora, escolhemos um valor específico para c. Um valor útil é c = 2pi, porque sabemos que, para 0 < x <= pi2,
sin x >= 2pi x
Então, temos:
sin x >= 2pi x

Passo 4

Com essa cota inferior, podemos substituir na nossa integral original:
1raizsin x <= 1raiz2pi x = raizpi2 cdot 1raizx
Isso simplifica nossa análise, pois agora temos uma função mais fácil de integrar: 1raizx.

Passo 5

Vamos considerar a integral de comparação:
integral0^1 1raizx , dx
Sabemos que:
integral0^1 x^-1/2 , dx = 2 raizx |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
Essa integral converge, ou seja, ela tem um valor finito.

Resposta

Como mostramos que:
1raizsin x <= raizpi2 cdot 1raizx
e a integral de 1raizx de 0 a 1 converge, pela comparação, concluímos que a integral original
integral0^1 1raizsin x , dx
também converge.

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