Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Mostrar que a integral abaixo converge:
[Sugestão: Obter alguma cota inferior para sen x em termos de cx, para alguma constante c.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral imprópria que precisa determinar se existe e se ela converge:
Estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa função com outra mais simples para facilitar a análise da convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento de perto de . Sabemos que, para valores de bem pequenos, é aproximadamente igual a . Mais formalmente, existe uma constante positiva tal que:
Isso nos ajuda a encontrar uma cota inferior para , o que é crucial para a comparação.
Passo 3
Agora, escolhemos um valor específico para . Um valor útil é , porque sabemos que, para ,
Então, temos:
Passo 4
Com essa cota inferior, podemos substituir na nossa integral original:
Isso simplifica nossa análise, pois agora temos uma função mais fácil de integrar: .
Passo 5
Vamos considerar a integral de comparação:
Sabemos que:
Essa integral converge, ou seja, ela tem um valor finito.
Resposta
Como mostramos que:
e a integral de de 0 a 1 converge, pela comparação, concluímos que a integral original