Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Mostrar que a integral abaixo converge:
[Sugestão: Obter alguma cota inferior para sen x em termos de cx, para alguma constante c.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral imprópria que precisa determinar se existe e se ela converge:
Estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar comparar essa função com outra mais simples para facilitar a análise da convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de perto de . Sabemos que, para valores de bem pequenos, é aproximadamente igual a . Mais formalmente, existe uma constante positiva tal que:
Isso nos ajuda a encontrar uma cota inferior para , o que é crucial para a comparação.

Passo 3

Agora, escolhemos um valor específico para . Um valor útil é , porque sabemos que, para ,
Então, temos:

Passo 4

Com essa cota inferior, podemos substituir na nossa integral original:
Isso simplifica nossa análise, pois agora temos uma função mais fácil de integrar: .

Passo 5

Vamos considerar a integral de comparação:
Sabemos que:
Essa integral converge, ou seja, ela tem um valor finito.

Resposta

Como mostramos que:
e a integral de de 0 a 1 converge, pela comparação, concluímos que a integral original
também converge.

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Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade : é a região triangular limitada pelas reta e .
Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.