Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma escada de 25 pés encostada na parede de uma casa. A base da escada está sendo empurrada para longe da parede a uma velocidade de 2 pés por segundo. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo naquele instante, especificamente quando a base está a 7 pés da parede. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento de razão de variação relacionada (ou cálculo de taxas relacionadas) e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a situação com uma equação. Consideramos que a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão. Se chamarmos de a distância da base da escada até a parede e de a altura do topo da escada em relação ao chão, podemos usar o Teorema de Pitágoras:
Onde é o comprimento da escada, que é 25 pés.

Passo 3

Queremos encontrar a velocidade com que está mudando em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos diferenciar a equação do Teorema de Pitágoras em relação ao tempo :
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, isolamos :
Sabemos que pés por segundo e pés. Mas precisamos encontrar quando pés.

Passo 5

Usando o Teorema de Pitágoras para encontrar quando pés:
é

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na equação para :
é

Resposta

O topo da escada está descendo a uma velocidade de pés por segundo naquele instante.

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área da superfície da mancha em relação ao raio do círculo para .
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Mostrar que a integral abaixo converge:
[Sugestão: Obter alguma cota inferior para sen x em termos de cx, para alguma constante c.]
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade : é a região triangular limitada pelas reta e .