Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma escada de 25 pés encostada na parede de uma casa. A base da escada está sendo empurrada para longe da parede a uma velocidade de 2 pés por segundo. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo naquele instante, especificamente quando a base está a 7 pés da parede. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento de razão de variação relacionada (ou cálculo de taxas relacionadas) e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a situação com uma equação. Consideramos que a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão. Se chamarmos de
a distância da base da escada até a parede e de
a altura do topo da escada em relação ao chão, podemos usar o Teorema de Pitágoras:
Onde
é o comprimento da escada, que é 25 pés.
Passo 3
Queremos encontrar a velocidade com que
está mudando em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos diferenciar a equação do Teorema de Pitágoras em relação ao tempo
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Sabemos que
pés por segundo e
pés. Mas precisamos encontrar
quando
pés.
Passo 5
Usando o Teorema de Pitágoras para encontrar
quando
pés:
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados na equação para
:
Resposta
O topo da escada está descendo a uma velocidade de
pés por segundo naquele instante.