Resolver as seguintes integrais:
DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é a integração de funções racionais, especificamente usando decomposição em frações parciais. Para isso, precisamos entender como fatorar o denominador e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador
. Esse polinômio não tem raízes reais porque o discriminante
é negativo. Então, ele não pode ser fatorado em termos de números reais. Portanto, vamos completar o quadrado para simplificar a expressão.
Passo 3
Completar o quadrado do denominador
:
Agora, a integral fica:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Substituindo na integral:
Agora, precisamos integrar
, que é uma integral padrão.
Passo 5
A integral
pode ser resolvida usando uma fórmula conhecida:
Aqui,
, então a integral se torna:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área
da superfície da mancha em relação ao raio
do círculo para
.
Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
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Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
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Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Mostrar que a integral abaixo converge:
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[Sugestão: Obter alguma cota inferior para sen x em termos de cx, para alguma constante c.]