Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração de funções racionais, especificamente usando decomposição em frações parciais. Para isso, precisamos entender como fatorar o denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Esse polinômio não tem raízes reais porque o discriminante é negativo. Então, ele não pode ser fatorado em termos de números reais. Portanto, vamos completar o quadrado para simplificar a expressão.

Passo 3

Completar o quadrado do denominador :
Agora, a integral fica:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Substituindo na integral:
Agora, precisamos integrar , que é uma integral padrão.

Passo 5

A integral pode ser resolvida usando uma fórmula conhecida:
Aqui, , então a integral se torna:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:

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Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Mostrar que a integral abaixo converge:
[Sugestão: Obter alguma cota inferior para sen x em termos de cx, para alguma constante c.]