Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

integral d x(x^2-4 x+5)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração de funções racionais, especificamente usando decomposição em frações parciais. Para isso, precisamos entender como fatorar o denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Esse polinômio não tem raízes reais porque o discriminante é negativo. Então, ele não pode ser fatorado em termos de números reais. Portanto, vamos completar o quadrado para simplificar a expressão.

Passo 3

Completar o quadrado do denominador x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1 :
integral dx[(x - 2)^2 + 1]^2
Agora, a integral fica:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja integral du(u^2 + 1)^2 , então . Substituindo na integral:
Agora, precisamos integrar , que é uma integral padrão.

Passo 5

A integral integral du(u^2 + a^2)^2 = u2a^2(u^2 + a^2)) + 12a^3 arctan(ua) + C pode ser resolvida usando uma fórmula conhecida:
u2(1)^2(u^2 + 1) + 12(1)^3 arctan(u) + C = u2(u^2 + 1) + 12 arctan(u) + C
Aqui, , então a integral se torna:

Passo 6

Agora, substituímos (x - 2)2((x - 2)^2 + 1) + 12 arctan(x - 2) + C de volta na expressão:

Resposta

A integral (x - 2)2((x - 2)^2 + 1) + 12 arctan(x - 2) + C é igual a:

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