Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o problema. Temos uma escada de 25 pés que está encostada na parede de uma casa. A base da escada está sendo empurrada para longe da parede a uma taxa de 2 pés por segundo. Queremos descobrir como a área do triângulo formado pela parede, a escada e o chão está mudando exatamente quando a base da escada está a 7 pés da parede.
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas em cálculo diferencial, especificamente com como uma taxa de mudança em uma variável afeta outra. Vamos precisar usar o teorema de Pitágoras e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo formado. A escada é a hipotenusa de 25 pés. A base da escada está a 7 pés da parede, e queremos encontrar a altura da escada na parede nesse instante.
Usaremos o teorema de Pitágoras, que nos diz que em um triângulo retângulo:
Aqui, é a base (7 pés), é a altura na parede que queremos encontrar, e é a hipotenusa (25 pés).

Passo 3

Vamos chamar a altura na parede de . Então, temos:
Calculando:
Subtraindo 49 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
é
Então, a altura da escada na parede é de 24 pés quando a base está a 7 pés da parede.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da área desse triângulo quando a base está a 7 pés. Sabemos que a área de um triângulo retângulo é dada por:
No nosso caso:
Onde é a base (7 pés) e é a altura (24 pés). Mas sabemos que e estão relacionados pelo teorema de Pitágoras, e ambos estão mudando com o tempo.

Passo 5

Vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo . Primeiramente, expressamos a área como função de :
Mas sabemos que . Então:
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo:
Usando a regra da cadeia para a derivada da raiz quadrada:

Passo 6

Substituindo de volta na equação da derivada da área:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Sabemos que pés e pés por segundo.
Primeiro, calculamos .
Substituindo na equação:
Calculando os termos:
Então:

Resposta

A taxa de variação da área do triângulo quando a base da escada está a 7 pés da parede é de aproximadamente pés² por segundo, ou cerca de 9,96 pés²/s.

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