Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o problema. Temos uma escada de 25 pés que está encostada na parede de uma casa. A base da escada está sendo empurrada para longe da parede a uma taxa de 2 pés por segundo. Queremos descobrir como a área do triângulo formado pela parede, a escada e o chão está mudando exatamente quando a base da escada está a 7 pés da parede.
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas em cálculo diferencial, especificamente com como uma taxa de mudança em uma variável afeta outra. Vamos precisar usar o teorema de Pitágoras e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo formado. A escada é a hipotenusa de 25 pés. A base da escada está a 7 pés da parede, e queremos encontrar a altura da escada na parede nesse instante.
Usaremos o teorema de Pitágoras, que nos diz que em um triângulo retângulo:
Aqui,
é a base (7 pés),
é a altura na parede que queremos encontrar, e
é a hipotenusa (25 pés).
Passo 3
Vamos chamar a altura na parede de
. Então, temos:
Calculando:
Subtraindo 49 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Então, a altura da escada na parede é de 24 pés quando a base está a 7 pés da parede.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da área desse triângulo quando a base está a 7 pés. Sabemos que a área
de um triângulo retângulo é dada por:
No nosso caso:
Onde
é a base (7 pés) e
é a altura (24 pés). Mas sabemos que
e
estão relacionados pelo teorema de Pitágoras, e ambos estão mudando com o tempo.
Passo 5
Vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo
. Primeiramente, expressamos a área como função de
:
Mas sabemos que
. Então:
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo:
Usando a regra da cadeia para a derivada da raiz quadrada:
Passo 6
Substituindo de volta na equação da derivada da área:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Sabemos que
pés e
pés por segundo.
Primeiro, calculamos
.
Substituindo na equação:
Calculando os termos:
Então:
Resposta
A taxa de variação da área do triângulo quando a base da escada está a 7 pés da parede é de aproximadamente
pés² por segundo, ou cerca de 9,96 pés²/s.
Exercícios relacionados
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e tem função densidade
:
é a região triangular limitada pelas reta
e
.
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
Mostrar que a integral abaixo converge:
Mostrar que a integral abaixo converge:
[Sugestão: Obter alguma cota inferior para sen x em termos de cx, para alguma constante c.]
Determine um vetor
ortogonal aos vetores
e
, de modo que sua projeção ortogonal sobre
seja igual a
.
Seja
um triângulo de área igual a 4. Sendo
e
, calcule
.