Determinar a série de Fourier do seno de
. Construir o prolongamento periódico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Fourier para a função
no intervalo
e depois construir o prolongamento periódico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de senos, já que a função é definida em um intervalo finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. No nosso caso, como a função
é par e definida em
, vamos usar a série de Fourier do tipo senoidal.
Passo 3
A série de Fourier para uma função
definida em
e estendida como uma função ímpar no intervalo
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
No nosso caso,
e
, então os coeficientes ficam:
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
:
A integral de
é:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que
. Então:
Perceba que quando
é par,
, então
. Quando
é ímpar,
, então:
Portanto, somente os termos ímpares contribuem para a série.
Passo 6
Agora, substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Isso significa que nossa série é composta apenas por senos de múltiplos ímpares de
.
Passo 7
Para construir o prolongamento periódico, entendemos que a função originalmente definida em
será estendida de forma ímpar para todo o eixo real, repetindo-se a cada
. Ou seja, a função será periódica com período
e preservar�� a forma dos senos na série de Fourier encontrada.
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é:
E o prolongamento periódico dessa função é uma função ímpar com período
, construída a partir dessa série de senos.
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Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir:
Classifique as EDPs a seguir como hiperbólica, parabólica ou elíptica: