Determinar a série de Fourier do seno de . Construir o prolongamento periódico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Fourier para a função no intervalo e depois construir o prolongamento periódico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de senos, já que a função é definida em um intervalo finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. No nosso caso, como a função é par e definida em , vamos usar a série de Fourier do tipo senoidal.

Passo 3

A série de Fourier para uma função definida em e estendida como uma função ímpar no intervalo é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
No nosso caso, e , então os coeficientes ficam:

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente :
A integral de é:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que . Então:
Perceba que quando é par, , então . Quando é ímpar, , então:
Portanto, somente os termos ímpares contribuem para a série.

Passo 6

Agora, substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Isso significa que nossa série é composta apenas por senos de múltiplos ímpares de .

Passo 7

Para construir o prolongamento periódico, entendemos que a função originalmente definida em será estendida de forma ímpar para todo o eixo real, repetindo-se a cada . Ou seja, a função será periódica com período e preservar�� a forma dos senos na série de Fourier encontrada.

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:
E o prolongamento periódico dessa função é uma função ímpar com período , construída a partir dessa série de senos.

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b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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