Resolva o problema conceitual: Qual é a condição sobre sum ak e sum bk para que sum ak bk seja necessariamente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é: Quais condições as séries e devem satisfazer para que a série necessariamente convirja?
Então, vamos usar conceitos de convergência de séries e algumas ferramentas matemáticas como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série converger. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando vai para o infinito.

Passo 3

Agora, queremos que a série convirja. Para isso, precisamos garantir que os termos não “engordem” demais à medida que aumenta.

Passo 4

Uma ferramenta muito útil para isso é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que:
( sum ak bk )^2 <= ( sum ak^2 ) ( sum bk^2 )
Isso nos ajuda a relacionar a série do produto com as séries dos quadrados dos termos individuais.

Passo 5

Para que a desigualdade de Cauchy-Schwarz seja útil, precisamos que as séries e converjam. Se ambas convergirem, então também vai convergir, porque o lado direito da desigualdade será um número finito.

Passo 6

Então, a condição que garantirá a convergência de é que ambas as séries e sejam absolutamente convergentes. Ou seja, as séries de e devem convergir.

Resposta

Para que a série seja necessariamente convergente, ambas as séries e precisam ser absolutamente convergentes.

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