Resolva o problema conceitual: Qual é a condição sobre
e
para que
seja necessariamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é: Quais condições as séries
e
devem satisfazer para que a série
necessariamente convirja?
Então, vamos usar conceitos de convergência de séries e algumas ferramentas matemáticas como a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série converger. Uma série
converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando
vai para o infinito.
Passo 3
Agora, queremos que a série
convirja. Para isso, precisamos garantir que os termos
não “engordem” demais à medida que
aumenta.
Passo 4
Uma ferramenta muito útil para isso é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que:
Isso nos ajuda a relacionar a série do produto com as séries dos quadrados dos termos individuais.
Passo 5
Para que a desigualdade de Cauchy-Schwarz seja útil, precisamos que as séries
e
converjam. Se ambas convergirem, então
também vai convergir, porque o lado direito da desigualdade será um número finito.
Passo 6
Então, a condição que garantirá a convergência de
é que ambas as séries
e
sejam absolutamente convergentes. Ou seja, as séries de
e
devem convergir.
Resposta
Para que a série
seja necessariamente convergente, ambas as séries
e
precisam ser absolutamente convergentes.