Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita da forma . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos saber se essa convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos utilizar conceitos de análise de séries, especialmente o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Vamos começar observando que a série possui o termo , o que indica que é uma série alternada. Isso significa que os termos positivos e negativos se alternam. Para analisar a convergência desse tipo de série, usamos o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz).
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos aplicar essas condições à nossa série. Aqui, . Primeiro, verificamos se é decrescente:
Calculamos a derivada de em relação a :
Para , , então . Portanto, é decrescente para .
Passo 5
Agora, verificamos o limite de :
Isso porque o logaritmo cresce mais lentamente que qualquer potência de . Portanto, ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, o que significa que a série converge.
Passo 6
Mas a questão também pede para sabermos se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, analisamos a série absoluta, que é:
Vamos verificar se essa série converge.
Passo 7
Para determinar a convergência da série absoluta, usamos o Teste da Integral. Observamos que:
integral2^infty ln kk , dk
Fazendo a substituição u = ln k, temos du = 1k dk, o que transforma a integral em:
integralu=ln 2^infty u , du = [ u^22 ]ln 2^infty = infty
Como a integral diverge, a série sumk=2^infty ln kk também diverge.
Passo 8
Como a série original converge, mas a série absoluta diverge, concluímos que a convergência da série é condicional.
Resposta
A série sumk=2^infty (-1)^k ln kkconverge condicionalmente.