Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional. sumk=2^infty(-1)^k ln kk

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita da forma sumk=2^infty (-1)^k ln kk. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos saber se essa convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos utilizar conceitos de análise de séries, especialmente o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Vamos começar observando que a série possui o termo (-1)^k, o que indica que é uma série alternada. Isso significa que os termos positivos e negativos se alternam. Para analisar a convergência desse tipo de série, usamos o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz).

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^k ak converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos ak são decrescentes, ou seja, ak+1 <= ak para todo k.
  2. O limite de ak quando k tende ao infinito é zero, ou seja, limk to infty ak = 0.

Passo 4

Vamos aplicar essas condições à nossa série. Aqui, ak = ln kk. Primeiro, verificamos se ak é decrescente:
  • Calculamos a derivada de ak em relação a k: ak' = 1k cdot 1k - ln kk^2 = 1 - ln kk^2
  • Para k >= 3, ln k > 1, então ak' < 0. Portanto, ak é decrescente para k >= 3.

Passo 5

Agora, verificamos o limite de ak:
limk to infty ln kk = 0
Isso porque o logaritmo cresce mais lentamente que qualquer potência de k. Portanto, ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, o que significa que a série converge.

Passo 6

Mas a questão também pede para sabermos se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, analisamos a série absoluta, que é:
sumk=2^infty | (-1)^k ln kk | = sumk=2^infty ln kk
Vamos verificar se essa série converge.

Passo 7

Para determinar a convergência da série absoluta, usamos o Teste da Integral. Observamos que:
integral2^infty ln kk , dk
Fazendo a substituição u = ln k, temos du = 1k dk, o que transforma a integral em:
integralu=ln 2^infty u , du = [ u^22 ]ln 2^infty = infty
Como a integral diverge, a série sumk=2^infty ln kk também diverge.

Passo 8

Como a série original converge, mas a série absoluta diverge, concluímos que a convergência da série é condicional.

Resposta

A série sumk=2^infty (-1)^k ln kk converge condicionalmente.

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