Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a série infinita . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, determinar se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que vamos analisar a série formada pelos valores absolutos dos termos:
Para testar a convergência dessa nova série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento da série ao observar o limite da razão entre termos consecutivos.
Calculando o limite:
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.
Passo 3
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente. A convergência absoluta é uma condição mais forte que a convergência condicional, garantindo que a série converge independentemente da alternância dos sinais.