Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional. sumk=1^infty(-1)^k+1 1k 3^k

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a série infinita . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, determinar se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que vamos analisar a série formada pelos valores absolutos dos termos:
sumk=1^infty | (-1)^k+1 1k 3^k | = sumk=1^infty 1k 3^k
Para testar a convergência dessa nova série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento da série ao observar o limite da razão entre termos consecutivos.
Calculando o limite:
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente. A convergência absoluta é uma condição mais forte que a convergência condicional, garantindo que a série converge independentemente da alternância dos sinais.

Resposta

A série converge absolutamente.

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