Verifique se as séries convergem absolutamente ou condicionamente e, depois, verifique e compare os erros cometidos ao se aproximar a soma com os quatro primeiros termos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita: . Precisamos verificar se essa série converge absolutamente ou condicionalmente. Depois, vamos calcular a soma aproximada usando os quatro primeiros termos dessa série e comparar os erros envolvidos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos dos termos: . Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência condicional. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos alternados de uma série diminuem de forma contínua para zero, então a série converge. Observamos que 1k é uma sequência que diminui para zero à medida que k aumenta. Portanto, a série sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge condicionalmente.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a soma aproximada usando os quatro primeiros termos da série:
Para estimar o erro dessa aproximação, usamos o Teorema do Erro da Série Alternada, que afirma que o erro ao usar os primeiros n termos é, no máximo, o valor absoluto do próximo termo. Neste caso, como usamos quatro termos, o próximo termo é 15 = 0,2. Portanto, o erro é no máximo 0,2.
Resposta
A série sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge condicionalmente. Ao aproximar a soma com os quatro primeiros termos, obtemos S4 = 0,5833 com um erro máximo de 0,2.