Determinar a solução geral da equação y'' - 2y' + 1 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, todas as funções que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Podemos reorganizar para:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea associada ( ) e de uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada. Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Como nunca é zero, temos:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é uma constante, podemos tentar uma solução constante. Vamos supor que , onde é uma constante a ser determinada.
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não faz sentido, o que significa que nossa suposição precisa ser ajustada.

Passo 6

Quando a tentativa de uma solução particular simples não funciona, geralmente multiplicamos por . Assim, vamos tentar .
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(a) y'' - y' - 2y = 4x^2.
Seja w um número real positivo. Determinar a solução geral da equação y'' - w^2 y = 0
Dê a solução geral da equação diferencial y''(t) + 9y(t) = 0.
As funções y1 = x e y1 = -1 / (2 x) são soluções para x^2 y'' + x y' - y = 1/(x - 1). Determinar uma solução particular para essa equação no intervalo (0, infinito).