Determinar a solução geral da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, todas as funções
que satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Podemos reorganizar para:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea associada (
) e de uma solução particular da equação completa.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é uma constante, podemos tentar uma solução constante. Vamos supor que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não faz sentido, o que significa que nossa suposição precisa ser ajustada.
Passo 6
Quando a tentativa de uma solução particular simples não funciona, geralmente multiplicamos por
. Assim, vamos tentar
.
Derivando:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(a) .
(a)
Seja w um número real positivo. Determinar a solução geral da equação
Dê a solução geral da equação diferencial
.
As funções
e
são soluções para
. Determinar uma solução particular para essa equação no intervalo
.