Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(já que
), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Organizando os termos por graus de
:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Step 9
Agora que achamos os valores de
,
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Seja w um número real positivo. Determinar a solução geral da equação
Calcular o valor de cada expressão:
Determinar a solução geral da equação
.
Dê a solução geral da equação diferencial
.