Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(a) y'' - y' - 2y = 4x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (já que ), obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Organizando os termos por graus de :

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Step 9

Agora que achamos os valores de , e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Seja w um número real positivo. Determinar a solução geral da equação y'' - w^2 y = 0
Calcular o valor de cada expressão:
e^(ln 6 + (pi/3) i)
Determinar a solução geral da equação y'' - 2y' + 1 = 0.
Dê a solução geral da equação diferencial y''(t) + 9y(t) = 0.