As funções
e
são soluções para
. Determinar uma solução particular para essa equação no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
, e já sabemos que as funções
e
resolvem a parte homogênea dessa equação (ou seja, sem o lado direito). Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação no intervalo de
. Para isso, vamos usar o método da variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções específicas quando sabemos as soluções da parte homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A forma geral é:
No nosso caso,
,
,
e
. As soluções da equação homogênea associada
são
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
. Esse método nos diz que, se já conhecemos as soluções da homogênea, podemos construir
da seguinte forma:
Onde
e
são funções que vamos determinar. Para encontrá-las, precisamos resolver um sistema de equações derivadas das condições impostas pelo método.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, derivamos
:
Mas para simplificar, impomos que:
Isso nos ajuda a reduzir a complexidade das expressões. Substituindo na equação original, obtemos outra equação para resolver
e
. Após algumas manipulações, chegamos a:
Onde
é o Wronskiano das soluções
e
.
Passo 5
Vamos calcular o Wronskiano
:
Com
e
, temos:
Portanto:
Agora, substituímos
e
nas expressões de
e
:
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Para integrar
, fazemos uma divisão polinomial:
Então,
Resposta
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Simplificando, obtemos:
Essa é uma solução particular para a equação diferencial dada no intervalo
.
Exercícios relacionados
Dê a solução geral da equação diferencial
.
Determinar a solução geral da equação
.
Resolva as equações diferenciais pelo Método da Variação dos Parâmetros
(d)
(d)
Seja
um número real, não nulo. Mostrar que, as funções
e
, são soluções fundamentais da equação diferencial
.