Dê a solução geral da equação diferencial y''(t) + 9y(t) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando métodos de equações características, que envolvem encontrar raízes que nos ajudarão a determinar a forma da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos a equação característica associada. Substituímos por e por , resultando na seguinte equação:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar :
Aqui, é a unidade imaginária, onde .

Passo 5

Como as raízes são complexas ( ), sabemos que a solução geral da equação diferencial será uma combinação de funções seno e cosseno. A fórmula geral para raízes complexas é:
No nosso caso, e .

Passo 6

Aplicando os valores encontrados à fórmula, temos:
Porque , simplificamos a expressão.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determinar a solução geral da equação y'' - 2y' + 1 = 0.
Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(a) y'' - y' - 2y = 4x^2.
As funções y1 = x e y1 = -1 / (2 x) são soluções para x^2 y'' + x y' - y = 1/(x - 1). Determinar uma solução particular para essa equação no intervalo (0, infinito).
Resolva as equações diferenciais pelo Método da Variação dos Parâmetros
(d) y'' + 4y' + 4y = e^(-2x) ln(x)