Dê a solução geral da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando métodos de equações características, que envolvem encontrar raízes que nos ajudarão a determinar a forma da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos a equação característica associada. Substituímos
por
e
por
, resultando na seguinte equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar
:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 5
Como as raízes são complexas (
), sabemos que a solução geral da equação diferencial será uma combinação de funções seno e cosseno. A fórmula geral para raízes complexas
é:
No nosso caso,
e
.
Passo 6
Aplicando os valores encontrados à fórmula, temos:
Porque
, simplificamos a expressão.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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.
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(a) .
(a)
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e
são soluções para
. Determinar uma solução particular para essa equação no intervalo
.
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(d)
(d)