Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar uma solução particular da equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo (
). Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica para a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo não homogêneo:
A equação característica dessa equação é:
Resolvendo para
:
Como as raízes são imaginárias puras, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, observe que o termo não homogêneo é
, que já está presente na solução homogênea
. Isso significa que há resonância, e precisamos modificar nossa suposição para a solução particular para evitar a duplicação com a solução homogênea.
Por isso, multiplicamos por
na nossa suposição. Assim, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Então:
Simplificando os termos que contêm
:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Resposta
Uma solução particular da equação é:
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Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
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Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
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