Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar uma solução particular da equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo ( ). Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica para a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo não homogêneo:
A equação característica dessa equação é:
Resolvendo para :
Como as raízes são imaginárias puras, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, observe que o termo não homogêneo é , que já está presente na solução homogênea . Isso significa que há resonância, e precisamos modificar nossa suposição para a solução particular para evitar a duplicação com a solução homogênea.
Por isso, multiplicamos por na nossa suposição. Assim, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação diferencial original:
Então:
Simplificando os termos que contêm :
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:

Resposta

Uma solução particular da equação é:

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Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
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Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
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