Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma solução particular para a equação diferencial:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar essa solução. Vamos precisar identificar os termos do lado direito da equação para propor formas adequadas de soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma equação diferencial não homogênea porque tem termos diferentes de zero no lado direito. Para resolver isso, a gente procura uma solução geral que é a soma da solução geral da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 3

Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos dividir o lado direito em três partes e achar uma solução particular para cada uma:
  1. Para o termo constante 1:
    Suponhamos uma solução particular da forma:
  2. Para o termo polinomial :
    Suponhamos uma solução particular da forma:
  3. Para o termo exponencial :
    Note que já é solução da homogênea, então precisamos multiplicar por para não repetir. Assim, supomos:

Passo 5

Vamos agora substituir cada solução particular proposta na equação original para determinar os coeficientes .
  1. Para :
    Derivadas:
    Substituindo na equação:
    Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição. Na verdade, como a derivada de uma constante é zero, precisamos considerar que nossa solução particular para o termo constante deve incluir um termo linear. Então, vamos ajustar para:
    Mas já vimos que isso não funciona. Então, a solução particular para o termo constante é:
    E da equação:
    ãçã
    Isso indica que precisamos repensar nossa abordagem. Vamos então considerar que a solução particular para o termo constante é:
    E da equação:
    ãçã
    Portanto, precisamos multiplicar por e tentar novamente:
    Derivadas:
    Substituindo:
    Então, a solução particular para o termo constante é:
  2. Para :
    Derivadas:
    Substituindo na equação:
    Simplificando:
    Igualando os coeficientes:
    á
    Parece que não conseguimos resolver para . Então, precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo de :
    Derivadas:
    Substituindo:
    Simplificando:
    Igualando os coeficientes:
    ã
    Não conseguimos encontrar uma solução, então precisamos ajustar mais nossa suposição. Vamos tentar incluir termos de , e constantes:
    Contudo, já tentamos isso e não funcionou, o que indica que precisamos multiplicar por mais uma vez:
    E já vimos que não há solução, então o termo polinomial provavelmente será zero. Vamos seguir em frente.
  3. Para :
    Derivadas:
    Substituindo na equação:
    Simplificando:
    Igualando os coeficientes:
    Então, a solução particular para o termo exponencial é:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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