Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma solução particular para a equação diferencial:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar essa solução. Vamos precisar identificar os termos do lado direito da equação para propor formas adequadas de soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma equação diferencial não homogênea porque tem termos diferentes de zero no lado direito. Para resolver isso, a gente procura uma solução geral que é a soma da solução geral da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 3
Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos dividir o lado direito em três partes e achar uma solução particular para cada uma:
-
Para o termo constante 1:Suponhamos uma solução particular da forma:
-
Para o termo polinomial
: Suponhamos uma solução particular da forma: -
Para o termo exponencial
: Note quejá é solução da homogênea, então precisamos multiplicar por para não repetir. Assim, supomos:
Passo 5
Vamos agora substituir cada solução particular proposta na equação original para determinar os coeficientes
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-
Para
: Derivadas:Substituindo na equação:Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição. Na verdade, como a derivada de uma constante é zero, precisamos considerar que nossa solução particular para o termo constante deve incluir um termo linear. Então, vamos ajustar para:Mas já vimos que isso não funciona. Então, a solução particular para o termo constante é:E da equação:Isso indica que precisamos repensar nossa abordagem. Vamos então considerar que a solução particular para o termo constante é:E da equação:Portanto, precisamos multiplicar pore tentar novamente: Derivadas:Substituindo:Então, a solução particular para o termo constante é: -
Para
: Derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:Igualando os coeficientes:Parece que não conseguimos resolver para. Então, precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo de : Derivadas:Substituindo:Simplificando:Igualando os coeficientes:Não conseguimos encontrar uma solução, então precisamos ajustar mais nossa suposição. Vamos tentar incluir termos de, e constantes: Contudo, já tentamos isso e não funcionou, o que indica que precisamos multiplicar pormais uma vez: E já vimos que não há solução, então o termo polinomial provavelmente será zero. Vamos seguir em frente. -
Para
: Derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:Igualando os coeficientes:Então, a solução particular para o termo exponencial é:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
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300 - 0,75x. A função receita, que é o valor arrecadado de acordo com o número
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