Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial usando o método da variação das constantes. Isso envolve entender equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método da variação das constantes. Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação.

Passo 4

Sabemos que pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica:
Assim, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos assumir que a solução particular tem a forma:
onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação, temos:
Isso não resolve a equação, então precisamos ajustar nossa hipótese.

Passo 6

Vamos tentar outra forma para . Suponha que:
onde , e são constantes a serem encontradas. Derivando :

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:

Passo 9

Com os valores de , e encontrados, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

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.
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