Encontrar a solução geral, usando o método da variação das constantes para determinar uma solução particular, de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
usando o método da variação das constantes. Isso envolve entender equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, usamos o método da variação das constantes. Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação.
Passo 4
Sabemos que
pode ser reescrito usando uma identidade trigonométrica:
Assim, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos assumir que a solução particular
tem a forma:
onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo
na equação, temos:
Isso não resolve a equação, então precisamos ajustar nossa hipótese.
Passo 6
Vamos tentar outra forma para
. Suponha que:
onde
,
e
são constantes a serem encontradas. Derivando
:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Passo 9
Com os valores de
,
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
: