Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo e já sabemos que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução, chamada , que seja linearmente independente de . Para isso, vamos usar o método da redução de ordem, que é uma técnica legal para encontrar soluções adicionais quando já conhecemos uma solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma solução ser linearmente independente. Basicamente, isso quer dizer que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra. Então, precisamos garantir que não seja apenas um múltiplo de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos determinar. Então, substituímos isso na equação diferencial original.

Passo 4

Calculando as derivadas de :
Como , sabemos que e .

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:
Ficamos com:
Simplificando os termos:

Passo 6

Essa equação simplifica para . Isso significa que a segunda derivada de é zero, o que nos diz que é uma função linear. Então, podemos integrar duas vezes:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos escolher para simplificar, então:

Resposta

Outra solução linearmente independente da equação é .

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